今年我将要20岁了。

20岁的时候,亚历山大·格罗滕迪克离开蒙彼利埃来到南锡,从那里它会正式开始自己伟大的数学征程。

此人前半生是天才激荡雄浑的吟诵,对于他来说,数学就像人会做爱一样自然。拥有与生俱来的抽象能力,关注那些貌似不起眼,却内蕴着庞大结构的工作,他关心一切迷人的细节。

后半生是绝对自由主义的大丧之音,从和平主义到世界主义,再到愤怒地远离这个世界一切的权力主体。一生都在反抗,都在维护自己的最绝对的世界,容不得一点暴力,世俗的沾染。


每一门科学,当我们不是将它作为能力和统治力的工具,而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程,不是别的,就是这样一种和谐,从一个时期到另一个时期,或多或少,巨大而又丰富:在不同的时代和世纪中,对于依次出现的不同的主题,它展现给我们微妙而精细的对应,仿佛来自虚空。——《收获与播种》,第20页

亚历山大`格洛腾迪克是一位对数学对象极度敏感,对它们之间复杂而优美的结构有着深刻认识的数学家。他生平中的两个制高点——他是高等科学研究院(IHES)的创始成员之一,并在1966年荣获菲尔兹奖——就足以保证他在二十世纪数学伟人殿里的位置。但是这样的叙说远不足以反映他工作的精华,它深深植根于某种更有机更深层的东西里面。正如他在长篇回忆录《收获与播种》中所说:
“构成一个研究人员的创造力和想象力的品质的东西,正是他聆听事情内部声音能力”(原书第27页)。今天格洛腾迪克自己的声音,蕴含在他的著作中,到达我们耳中,就如来自虚空:如今76岁的高龄,他已经在法国南部的一个小村落里隐居十多年了。

用密歇根大学海曼-巴斯的话来说,格洛腾迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。如今这种观点已经如此深入吸收到数学研究里面,以至于对新来的研究者来说,很难想象以前并不是这样的。格洛腾迪克留下最深印迹的是代数几何学,在其中他强调通过发现数学对象间的联系来理解数学对象本身。他具有一种极其强大、几乎就是来自另外一个世界的抽象能力,让他能够从非常普适的高度来看待问题,而且他使用这种能力又是完美无缺的精确。事实上,从二十世纪中叶开始,在整个数学领域里不断加深的一般化和抽象化的潮流,在很大程度上归功于格洛腾迪克。同时,那些为一般化而一般化,以至于去研究一些毫无意义或者没有意思的数学问题,是他从来不感兴趣的。

格洛腾迪克在二次世界大战期间的早期生活充满混乱和伤害,并且他的教育背景并不是最好的。他如何从这样缺乏足够教育的开始脱颖而出,成为世界上的领袖数学家之一,是一出精彩的戏剧——同样,在1970年,正当他最伟大的成就在数学研究领域开花结果,而且数学研究正深受他非凡个性影响的时候,他突然离开了数学研究,也是富有戏剧性。

早期生活

对于我来说,我们高中数学课本最令人不满意的地方,是缺乏对长度、面积和体积的严格定义。我许诺自己,当我有机会的时候,我一定得填补这个不足。 ——《收获与播种》,第3页

2003年八月以八十岁高龄过世的普林斯顿高等研究院的阿曼德-波莱尔回忆起他在1949年11月在巴黎一次布尔巴基讨论班上第一次见到格洛腾迪克的情形。在讲座的空歇时间,当时二十多岁的波莱尔正与时年45岁,法国数学界那时的一位领袖人物查尔斯-爱尔斯曼聊天。波莱尔回忆说,此时一个年轻人走到爱尔斯曼面前,不作任何介绍,当头就问:“你是拓扑群方面的专家吗?”为了显示自己的谦虚,爱尔斯曼回答说是的,他知道一点点关于拓扑群的知识。年轻人坚持说:“可我需要一个真正的专家!”这就是亚历山大-格洛腾迪克,时年21岁——性急,热情,确切说不是无礼,但对社交礼仪差不多一无所知。波莱尔记得格洛腾迪克当时问了一个问题: 每个局部拓扑群是否是整体拓扑群的芽?波莱尔自己恰好知道一个反例。这个问题表明格洛腾迪克那个时候就已经考虑用很普适的观点还考虑问题了。

1940年代末在巴黎度过的时期是格洛腾迪克首次和数学研究世界的真正接触。在此之前,他的生活——至少就我们所知道的情况而言——几乎没有什么可以预示他注定成为这个世界一位具统治地位的人物。大多关于格洛腾迪克的家庭背景和早期生活的情节都是粗略或者未知的。穆斯特大学的温弗雷德-沙劳正在撰写一部格洛腾迪克的传记,因而对他的这段历史作了详细研究。下面我对格洛腾迪克生平的简略描述的大部分信息来自于对沙劳的一次访谈或者来自于他收集的关于格洛腾迪克生平的资料。

格洛腾迪克的父亲,其名字或许叫亚历山大-沙皮诺,于1889年10月11日生于乌克兰诺夫兹博科夫的一个犹太人家庭。沙皮诺是一个无政府主义者,参加过20世纪早期沙皇俄国多次暴动。在17岁的时候他被捕,尽管成功逃脱死刑的判决,但是数次越狱又被抓获,让他一共在狱中呆了大约10年时间。格洛腾迪克的父亲,有时候常常被人混淆为另外一个更有名的亚历山大-沙皮诺,他也参加过了多次政治运动。那位沙皮诺,曾在约翰-里德的名著《震撼世界的10天》里面出现过,移民去了纽约并于1946年去世,那时候,格洛腾迪克的父亲已经过世4年了。另外一个关于格洛腾迪克父亲的显著特征是他只有一只手。根据贾斯汀-巴姆比(她在1970年代曾经与格洛腾迪克生活过一段时间,并且和他育有一个儿子)的话来说,他的父亲是在一次逃避被警察抓获而尝试自杀的行动中丢失他的一只胳膊的。格洛腾迪克本人可能不知情地帮助造成这两个沙皮诺的混淆:举个例子,高等科学研究院的皮埃尔-卡迪耶尔提到格洛腾迪克坚持里德的书里面一个人物是他父亲。

1921年,沙皮诺离开俄国,从那时起,终其一生他都是一个无国籍人。为了隐瞒他的政治过去,他获得了一份名叫亚历山大-塔纳洛夫的身份证明,从此他就用这个新的名字。他在德国,法国和比利时都呆过一段时间,和无政府主义者和其他革命团体均有联系。在1920年代中期一个激进份子圈子里面,他认识了格洛腾迪克的母亲,琼娜(汉卡)-格洛腾迪克。她于1900年8月21日出生在汉堡一个中产阶级路德教徒家庭里。出于对她所受的传统教育的反叛,她被吸引来到柏林,当时那里是先锋派和社会革命运动的温床。她和沙皮诺都渴望成为作家。他从没有发表过什么东西,而她在报纸上发表过一些文章;特别的,在1920年到1922年间她为一家左翼报纸Der
Pranger写稿,当时它正在调查生活在汉堡社会底层的妓女们卖淫的真正原因。很久以后,在1940年代,她写了一本自传小说Eine Frau(《一个小女人》),不过从未发表。在他一生的大部分时间,塔纳洛夫是一位街头摄影师,这项工作让他可以独立生活,又不用违背自己的无政府主义信仰去被人雇佣。他和汉卡曾经都结婚过,而且都各有一个前次婚姻所生的孩子,她有个女儿而他有个儿子。亚历山大-格洛腾迪克于1928年3月28日出生于柏林,其时他们家由汉卡,塔纳洛夫,汉卡的女儿、比亚历山大大四岁的麦娣组成。他被家人和后来的密友们叫做舒瑞克;他父亲的昵称叫萨沙。尽管他从来没有见到过他的同父异母哥哥,格洛腾迪克将他在1980年代完成的手稿A
La Poursuite des Champs(《探索Stacks》)献给了他。

1933年,纳粹上台后,沙皮诺从柏林逃到了巴黎。同年12月,汉卡决定追随丈夫,于是她将儿子留在汉堡附近布兰肯尼斯的一个寄养家庭里面;麦娣则留在柏林一个收养残疾人的机构里,尽管她并不是残疾人(《收获与播种》,472-473页)。这个寄养家庭的家长是威尔海姆-海铎,他的不平凡的一生在他的传记Nur Mensch Sein里面得到详细描述;同书里面有格洛腾迪克1934年的一张照片,而且在书中他被简要提起。海铎曾经是路德教会牧师和军官,随后他离开教会,成为小学教师,同时是一位Heipraktiker(这个词现在可以粗略翻译为“另类医学的从业者”, 江湖医生)。1930年他创立了理想主义政党人道主义党,此党后来被纳粹认定为非法。海铎自己有4个孩子,他和妻子代格玛,出于他们信仰的基督教义务,又收养了好几个孩子,他们都由于在二战前那段混乱日子不得不与自己的家庭分开。

格洛腾迪克从5岁到11岁,在海铎家里呆了5年多,并且开始上学。代格玛-威尔海姆在回忆录里面说小亚历山大是一位非常自由,特别诚实,毫无顾忌的小孩。在他生活在海铎家这几年里,格洛腾迪克只从他母亲那里收到几封信,他父亲根本就没有给他写过信。尽管汉卡仍然还有些亲戚在汉堡,从没有人来看过他。突然和父母分离,对格洛腾迪克是非常伤心的事情,这可以从《收获与播种》书中看出(473页)。沙劳认为小亚历山大可能在海铎家里过得并不愉快。从两个无政府主义者作家长的不受拘束的家里出来,海铎家里的比较严肃的氛围可能比较让他觉得郁闷。事实上,他和海铎家附近其他一些家庭更亲近些,成年以后他仍然多年坚持给他们写信。他也给海铎家写信,并且数次回来拜访汉堡,最后一次是在1980年代中期。

1939年,战争迫在眉睫,海铎夫妇所承受政治压力也越来越大,他们不能够再抚养这些孩子了。格洛腾迪克这个情况更困难些,因为他看上去就象犹太人。尽管他父母的确切地址不为人知,但是代格玛-海铎写信给法国驻汉堡领事馆,设法给时在巴黎的沙皮诺和时在尼姆兹的汉卡带去消息。联系到他父母以后,11岁的格洛腾迪克被送上从汉堡到巴黎的火车。1939年5月他和父母团聚,他们在一起度过了战前的短暂时光。

目前我们并不确切知道当格洛腾迪克在汉堡的时候,他的父母干了些什么的细节,但可以肯定他们政治上仍然很活跃。他们跑到西班牙参加了西班牙内战,当佛朗哥获胜后又逃回法国。由于他们的政治活动,汉卡和她的丈夫在法国被当作危险的外国人。格洛腾迪克回到他们身边不久,沙皮诺就被送入Le Vernet的国际集中营,此地是所有法国集中营中最糟糕的。很可能从那以后他再也没有看到他的妻子和儿子了。1942年8月,他被法国政府驱逐到奥斯维辛,在那里他被杀害。麦娣那段时期如何度过我们并不清楚,但最终她和一位美国士兵结婚,并移居美国;她于几年前过世。

1941年汉卡和她的儿子被送入Mende附近Rieucros的战俘收容所。就战俘收容所而言,Rieucros的这个算比较好的,格洛腾迪克被允许到Mende去读高中。然而,这种生活被剥夺了自由,又很不确定。他告诉巴姆比说,他和他母亲时常被那些不知道汉卡是反对纳粹的法国人故意躲开。有一次他从收容所跑了出去,想去刺杀希特勒,但他很快就被抓获,送了回来。“这很可能让他丢了性命的”,巴姆比说。格洛腾迪克一生以来都很强壮,是一个很优秀的拳击手,他将此归功于这段时期,因为他常常是被伏击的对象。2年后,母子俩又分开了:汉卡被送到另一个战俘收容所,而她的儿子则最终送到小镇Chambon-sur-Lignon。安德烈-特洛克姆,一位新教徒牧师,将这个山区休假胜地Chambon镇变成了反抗纳粹占领的据点和犹太人及其他被战争危及生命的人们的避难所。在那里格洛腾迪克被送到由一个瑞士组织成立的儿童之家。他在Chambon镇专门为年轻人的教育而设立的Cevenol学院上学并得到业士学位(即通过中学毕业会考)。Chambon人的英雄行为给了逃难者安全,但是生活却是很不稳定的。在《收获与播种》里,格洛腾迪克提到当时周期性的抓捕犹太人的行动迫使他和其他同学在森林里躲藏好几天(第2页)。

在此书中,他也提到些对Mende和Chambon上学情况的回忆。很显然,尽管少年时遇到的诸多困难和混乱,他从很小的时候起就有很强的内在理解能力。在他的数学课上,他不需要老师的提示就能区分什么东西是深层的、什么是表面的,什么是正确的、什么是错误的。他发现课本上的数学问题老是重复,而且经常和那些可以赋予它意义的东西隔离开。“这是这本书的问题,不是我的问题”,他写道。当有问题引起他注意时,他就完全忘我的投入到问题中去,以至于忘记时间(第3页)。

从蒙彼利尔到巴黎到南锡

我的微积分老师舒拉先生向我保证说数学上最后一个问题已经在二三十年前就被一个叫勒贝格的人解决了。确切地说,他发展了一套测度和积分的理论(真是很令人惊讶的巧合!),而这就是数学的终点。——《收获与播种》,第4页

1945年5月欧战结束的时候,亚历山大-格洛腾迪克17岁。他和母亲居住在一蒙彼利尔郊外盛产葡萄地区的一个叫Maisargues的村子里。他在蒙彼利尔大学上学,母子俩靠他的奖学金和葡萄收获季节打零工来生活;他母亲也做些清扫房屋的工作。不久以后他呆在课堂的时间就越来越少,因为他发现老师全是照本宣科。根据让-丢多涅的话来说,那是的蒙彼利尔是”法国大学里面教授数学最落后的地区之一”。

在这种不那么令人激昂的环境下,格洛腾迪克将他在蒙彼利尔三年的大部分时间放在弥补他曾经觉察到的高中教科书上的缺陷,即给出令人满意的长度、面积和体积的定义。完全靠自己的努力,他实际上重新发现了测度论和勒贝格积分的概念。这个小故事可以说是格洛腾迪克和阿尔伯特-爱因斯坦两个人生平中几条平行线之一:年轻的爱因斯坦根据自己的想法发展了统计物理理论,后来他才知道这已经由约舒亚-维拉德-吉布斯发现了!

1948年,在蒙彼利尔完成理学学士课程后,格洛腾迪克来到了巴黎,法国数学的主要中心。1995年,在一篇发表于一法文杂志上关于格洛腾迪克的文章中,一位名叫安德烈-马格尼尔的法国教育官员回忆起格洛腾迪克的去巴黎求学的奖学金申请。马格尼尔让他说明一下在蒙彼利尔干了些什么。”我大吃一惊,”文章引用马格尼尔的话说,”本来我以为20分钟会面就足够了,结果他不停的讲了两个小时,向我解释他如何利用’现有的工具’,重新构造前人花了数十年时间构建的理论。他显示出来非凡的聪慧。”马格尼尔接着说:”格洛腾迪克给了我这样的印象:他是一位才气惊人的年青人,但是所受的苦痛和自由被剥夺的经历让他的发展很不均衡。”马格尼尔立刻推荐格洛腾迪克得到这个奖学金。

格洛腾迪克在蒙彼利尔的数学老师,舒拉先生推荐他到巴黎去找他以前的老师嘉当。不过到底是父亲,时年快八十的埃里-嘉当,还是他的儿子,四十多岁的亨利-嘉当,格洛腾迪克并不知道(《收获与播种》,第19页)。在1948年秋天到达巴黎后,他给那里的数学家看在蒙彼利尔自己做的工作。正如舒拉所说,那些结果已经为人所知,不过格洛腾迪克并不觉得沮丧。事实上,这段早期孤独一人的努力可能对他成为数学家起了至关重要的作用。在《收获与播种》中,格洛腾迪克谈到这段时期时说:”在根本不知情的情况下,我在孤独工作中学会了成为数学家的要素–这些没有一位老师能够真正教给学生的。不用别人告诉我,然而我却从内心就知道我是一位数学家:也就是说,完全从字面上理解,”做数学的人就好像人们’做’爱一样。”

他开始参加亨利-嘉当在高等师范学校开设的传奇性的讨论班。这个讨论班采用了一种格洛腾迪克在以后的职业生涯更严格化的模式:每一年所有的讨论围绕一个选定的主题进行,讲稿要系统的整理出来并最终出版。1948-1949年嘉当讨论班的主题是单形代数拓扑和层论–当时数学的前沿课题,还没有在法国其他地方讲授过。事实上,那时离让-勒雷(Jean Leray)最初构想层的概念并没有多久。在嘉当讨论班上,格洛腾迪克第一次见到了许多当时数学界的风云人物,包括克劳德-夏瓦雷(Claude Chevalley),让-德尔萨(Jean Delsarte),让-丢多涅(Jean Dieudonne),罗杰-苟德曼(Roger Godement),洛朗-施瓦兹(Laurent Schwartz)和安德烈-韦依(Andre Weil)。其时嘉当的学生有让-皮埃尔-塞尔(Jean-Pierre Serre)。参加嘉当讨论班以外,他还去法兰西学院听勒雷开设的一门介绍当时很新潮的局部凸空间理论的课程。

作为几何学家埃里-嘉当的儿子,自己本人又是一位杰出的数学家,并且又是巴黎高师的教授,从多个方面来看亨利-嘉当都是巴黎精英数学家的中心。而且他还是战后少数几位努力创造条件与德国同行们交流的法国数学家之一,尽管他自己很清楚战争带给的惨痛:他的弟弟参加了抵抗德国占领的地下运动,结果被德国人抓获并斩首。嘉当和当时的许多一流数学家——比如爱尔斯曼,勒雷,夏瓦雷,德尔萨,丢多涅和韦依——都有一个共同的背景,他们是”高师人”,即为法国高等教育的最高学府巴黎高等师范学校的毕业生。

当格洛腾迪克加入嘉当讨论班的时候,他还是个外来人:这不仅仅是说他居住在战后法国而又讲德语,而且因为他与其他参加者比较起来显得特别贫乏的教育背景。然而在《收获与播种》里,格洛腾迪克说他并不觉得象是圈子里面的陌生人,并且叙述了他对在那受到的”善意的欢迎”的美好回忆(第19-20页)。他的坦率直言很快就引起大家的注意:在给嘉当100岁生日的颂词中,Jean Cerf回忆说,当时在嘉当讨论班上看到”一个陌生人(即格洛腾迪克),此人从屋子后部随意向嘉当发话,就如同和他平起平坐一样”。格洛腾迪克问问题从不受拘束,然而,他在书上写道,他也发现自己很难明白新的东西,而坐在他旁边的人似乎很快就掌握了,就象”他们从摇篮里就懂一样”(第6页)。这可能是其中一个原因,促使他在嘉当和韦依的建议下,于1949年10月离开巴黎的高雅氛围去了节奏缓慢的南锡。另外,如丢多涅所言,格洛腾迪克那时候对拓扑线性空间比对代数几何更感兴趣,因此他去南锡恰当不过了。

南锡的学习生涯

(我在这里受到的)欢迎弥漫开来… 从1949年首次来到南锡的时候我就受到这样的欢迎,不管是在Laurent 和Helene Schwartz的家(那儿我就好像是一个家庭成员一样),还是在Dieudonne的或者Godement的家(那里也是我经常出没的地方之一)。在我初次步入数学殿堂就包容在这样挚爱的温暖中,这种温暖虽然我有时易于忘记,对我整个数学家生涯非常重要。——《收获与播种》,第42页

1940年后期,南锡是法国最强的数学中心之一;事实上,虚构人物尼古拉-布尔巴基据说是“Nancago大学”的教授,就是指在芝加哥大学的韦依和在南锡大学的他的布尔巴基同伴。此时南锡的教员包括德尔萨,Godement,Dieudonne和Schwartz。格洛腾迪克的同学包括Jacques-Louis Lions和Bernard Malgrange,他们和格洛腾迪克一样均是Schwartz的学生;以及Paulo
Ribenboim,时年20岁,差不多与格洛腾迪克同时来到南锡的巴西人。

根据现在是(加拿大)安大略省Queens大学名誉教授Ribenboim的话来说,南锡的节奏不象巴黎那么紧张,教授们也有更多时间来指导学生。Ribenboim说他感觉格洛腾迪克来到南锡的原因是因为他基础知识缺乏以致很难跟上Cartan的高强度讨论班。这不是格洛腾迪克出来承认的,“他不是那种会承认自己也会不懂的人!”Ribenboim评论说。然而,格洛腾迪克的超凡才能是显而易见的,Ribenboim记得自己当时将他作为完美化身来景仰。

格洛腾迪克可能会变得非常极端,有时候表现得不太厚道。Ribenboim回忆说:“他不是什么卑鄙的人,只是他对自己和别人都要求很苛刻.”格洛腾迪克只有很少几本书;他不是从读书中去学习新的知识,而宁愿自己去重新建构这些知识。而且他工作得很刻苦。Ribenboim还记得Schwartz告诉他:你看上去是个很友善、均衡发展的年轻人;你应该和格洛腾迪克交个朋友,一起出去玩玩,这样他就不会整天工作了。

其时Dieudonne和Schwartz在南锡开设了关于拓扑线性空间的讨论班。如Dieudonne所说,那时候Banach空间及其对偶已经理解得很清楚了,不过局部凸空间的概念当时刚刚引入,而关于他们的对偶的一般理论还没有建立起来。在这个领域工作一段时间后,他和Schwartz遇到了一系列的问题,他们决定将这些问题交给格洛腾迪克。数月之后,他们大吃一惊地得知格洛腾迪克已经将所有的问题都解决了,并在继续研究泛函分析的其他问题。“1953年,应当给予他博士学位的时候,有必要在他写的六篇文章中选取一篇做博士论文,可每一篇都有好的博士论文的水准,”丢多涅写道。最后选定作为论文的是“拓扑张量积和核空间”,这篇文章显示出他的一般性思考的初次征兆,而这将刻划格洛腾迪克的整个数学生涯。核空间的概念,在目前已经得到了广泛应用,就是首先在这篇文章里面提出的。Schwartz在巴黎一次讨论班上宣传了格洛腾迪克的结果,
其讲稿“格洛腾迪克的张量空间”发表于1954。此外,格洛腾迪克的论文作为专著1955年在美国数学会的Memoir系列出版;此书在1990年第七次重印。

格洛腾迪克在泛函分析方面的工作“相当出色”,加州大学洛山矶分校的Edwards E. Effors评论说。“他可能是第一个意识到二战后迅猛发展的代数和范畴工具可以用来研究如此高度解析的数学分支泛函分析的人了。”从某些方面来说,格洛腾迪克走在他的时代的前面,Effors注意到至少花了15年时间,格洛腾迪克的工作才结合到主流的Banach空间理论中去,这其中部分原因是大家对采用他的更代数的观点不积极。Effors还说道,近年来由于Banach空间理论的“量子化”,而格洛腾迪克的范畴论的方法特别适用于这种情况,他的工作的影响进一步得到加强。

尽管格洛腾迪克的数学工作已经得到很有前途的开始,他的个人生活还没有安定下来。在南锡他和母亲住在一起,根据Ribenboim的回忆,她由于肺结核偶尔会卧床不起。她是在收容所染上这种疾病的。就在这时候她开始写自传《小女人》的。格洛腾迪克和管理他和他母亲寄住的公寓的一位年老妇人的关系让他有了第一个孩子,一个名叫塞吉的儿子:塞吉主要由母亲抚养。完成他的博士学位后,格洛腾迪克找到永久职位的希望很小:他是无国籍人,而那时在法国非公民很难找到永久工作。想成为法国公民就得去参军,而格洛腾迪克拒绝这样做。从1950年起他通过国家科学研究中心(CNRS)有个职位,不过这个职位更象奖学金,而不是永久性的。有段时间他甚至考虑去学做木匠来赚钱谋生(《收获与播种》,第1246页)。

Laurent Schwartz于1952年访问了巴西,给那里的人说起他这个才华横溢的学生在法国找工作遇到的麻烦。结果格洛腾迪克收到圣保罗大学提供给他的访问教授职位的提议,他在1953年和1954年保持了这个职位。根据当时为圣保罗大学学生、现在是Rutgers大学名誉教授的Jose
Barros-Neto的话来说,格洛腾迪克(和大学)做了特别安排,这样他可以回巴黎参加那里秋天举行的讨论班。由于巴西数学界的第二语言是法语,教学和与同事交流对格洛腾迪克来讲是件很容易的事情。通过去圣保罗,格洛腾迪克延续了巴西和法国的科学交流的传统:Schwartz之外,韦依、丢多涅和德尔萨都在1940和1950年代访问过巴西。韦依1945年一月到圣保罗,在那里一直呆到1947年秋天、他转赴芝加哥大学的时候。法国和巴西的数学交流一直延续到现在。里约热内卢的纯粹与应用数学研究所(IMPA)就有一个促成许多法国数学家到IMPA去的法-巴合作协议。

在《收获与播种》一书中,格洛腾迪克将1954年形容为“令人疲倦的一年”(163页)。整整一年时间,他不成功地试图在拓扑线性空间上的逼近问题上获得一些进展,而这个问题要到整整20年后才被一种和格洛腾迪克尝试的办法完全不同的方法解决。这是“我一生唯一一次感觉做数学是如此繁重!”他写道。这次挫折给了他一个教训:不管何时,要有几个数学“铁器在火中”,这样如果一个问题被发现很难解决,就可以在别的问题上下功夫。

现在为圣保罗大学教授的Chaim Honig,当格洛腾迪克在那儿的时候是数学系的助教,他们成了好朋友。Honig说格洛腾迪克过着一种斯巴达式的孤独生活,靠着牛奶和香蕉过日子,将自己完全投入到数学中。Honig有次问格洛腾迪克他为什么选择了数学。格洛腾迪克回答说他有两个爱好,数学和音乐,他选择了数学是因为他觉得这样可能更容易谋生些。他的数学天赋是如此显而易见,Honig说,“我当时相当惊讶他竟然在数学和音乐间犹豫不决。”

格洛腾迪克计划和当时在里约热内卢的Leopoldo Nachbin一起合写一本拓扑线性空间的书,不过这本书从来没有实质化过。然而,格洛腾迪克在圣保罗教授了拓扑线性空间这门课程,并撰写了讲义,这个讲义后来由大学出版了。Barros-Neto是班上的学生,他写了讲义上的一个介绍性章节,讲述一些基本的必需知识。Barros-Neto回忆说当格洛腾迪克在巴西的时候说起过要转换研究领域。他“很雄心勃勃,”Barros-Neto说道,“你可以感觉到这个行动——他应该做些很根本、重要而又基础的东西。”

新星升起

这个最本质的东西就是每次塞尔会强烈感觉到某个陈述下隐含着的丰富意义,而这个陈述在字面意义上讲,无疑让我既不感到兴奋,也不觉得无味——而且他可以“传输”这种对如此内蕴丰富、实在而又神秘的实质的感知——这种感知在同一时候就是理解这个实质的渴望,以至看透它的本质。 ——《收割与播种》,第556页
格勒诺贝尔大学的Bernard Malgrange 回忆起当格洛腾迪克写完论文后,他宣称自己不再对拓扑线性空间感兴趣了。“他告诉我,‘这里面不再有东西可做了,这个学科已经死了,’”Malgrange回忆道。当时学生按要求需要准备一份“第二论文”,此文不必包含原创性的工作,其用意在于让学生展示对和自己博士论文研究相隔很远的一门数学领域的理解深度。格洛腾迪克的第二论文是关于层论的,这个工作或许埋下了他对代数几何的兴趣的种子,而这将是他做出最伟大成就的地方。在巴黎完成格洛腾迪克的论文答辩后,Malgrange记得他自己、格洛腾迪克和亨利-嘉当挤在一辆出租车上去Laurent施瓦兹家里吃午饭。他们坐出租是因为Malgrange在滑雪的时候摔断了腿。“在车上,嘉当告诉格洛腾迪克他叙述层论时犯的一些错误,”Malgrange回忆说。

离开巴西后,格洛腾迪克1955年在堪萨斯大学度过,可能是受到N. Aronzajn的邀请。在那里格洛腾迪克开始投入到同调代数研究中去。正是在堪萨斯他写了“关于同调代数的若干问题”这篇文章,此文在专家圈子里面被非正式地称为“Tohoku文章”,由于此文发表在The Tohoku Mathematical Journal(《东北数学期刊》)上。此文是同调代数的经典,发展了嘉当和Eilenberg关于模的工作。也是在堪萨斯的时候,格洛腾迪克写了“带结构层的纤维空间的一般理论’一文,此文作为国家科学基金(National Science Foundation, NSF)的一个报告发表。这个报告发展了他关于非交换上同调的初步想法,此领域在后来他会在代数几何的架构下再次触及。

就是在这时候,格洛腾迪克开始和法兰西学院的让-皮埃尔-塞尔通信。他起初和塞尔在巴黎相识,而后来在南锡时又见过面。他们信件的精选在2001年出版了法文原版,在2003年出版了法英对照版。这是一段长期而又硕果累累的交流的开始。这些信件显示了两个非常不同的数学家的深厚而又充满活力的数学联系。格洛腾迪克表现出天马行空般的想象力,而它又常常被塞尔的深刻理解和渊博知识带回到地面。有时候在信中格洛腾迪克会表现出很令人惊讶的无知:比如说,有一次他询问塞尔黎曼zeta函数是否有无穷多零点。“他的经典代数几何知识实质上等于零,”塞尔回忆说,“我自己的经典代数几何知识比他稍微好点,但好得不多,但是我试着去帮助他。可是…有这么多未解决的问题,所以这不是很重要。”格洛腾迪克不是那种了解最新文献的人,很大程度上他依靠塞尔来了解目前数学界正在干些什么。在《收获与播种》里,格洛腾迪克写道,他学习到的大部分几何知识,除去他自学的外,全学自于塞尔(第555-556页)。不过塞尔不仅仅是教给格洛腾迪克知识;他能够将要点融会贯通,然后用一种格洛腾迪克发现非常具有说服力的方法叙述出来。格洛腾迪克将塞尔叫着“引爆器”,一个提供火花,将导火索点燃,促使观点大爆炸的人。

确实,格洛腾迪克将他工作的许多中心主题都归因于塞尔。比如说,就是塞尔在1955年将韦依猜想用上同调的语言介绍给格洛腾迪克——这种语言在韦依最初提出猜想的时候是没有明显给出的,而它却正是可以吸引格洛腾迪克的地方(《收获与播种》,840页)。通过对韦依猜想做“凯莱”类比的想法,塞尔也促使了格洛腾迪克的所谓“标准猜想”的提出,此猜想更加一般化,而韦依猜想只是其中一个推论(《收获与播种》,第210页)。

在堪萨斯呆了一年后,格洛腾迪克在1956年回到法国的时候,在CNRS谋得了一个位置,大部分时间里他呆在巴黎。他和塞尔继续通信,并且经常通电话讨论问题。就在此时格洛腾迪克开始更深入地研究拓扑和代数几何。他脑子里“充溢着想法,”阿曼德-波莱尔回忆说,“我很确定某些一流的工作必将出自于他。不过最后(从他那里)出来的比我想象的甚至还要高出很多。这就是他的Riemann-Roch定理,一个相当美妙的定理。它真是数学上的一个杰作。”

经典形式的Riemann-Roch定理在19世纪中叶得到证明。它讨论的问题是:在一个紧致黎曼曲面上,由那些极点在给定的有限多个点上,且具有最多给定次数的阶的亚纯函数构成的空间的维数是多少?问题的答案就是Riemann-Roch公式,它将维数用曲面的不变量来表达——从而提供了曲面的解析性质和拓扑性质的丰富联系。弗里德里希-赫兹布鲁克(Friedrich Hirzebruch)在1953年做出了一个巨大的进展,其时他将Riemann-Roch定理推广到不仅适用于紧致曲面,而且适用于复数域上的射影非奇异簇的情况。整个数学界都在欢呼这项伟业,它可能是这个问题的盖棺之语了。

“此时格洛腾迪克走了出来,说道:‘不,黎曼-洛赫定理不是一个关于簇的定理,而是一个关于簇间态射的定理’,”普林斯顿大学的尼克莱斯-卡兹说,“这是一个根本性的新观点…整个定理的陈述完全改变了。”范畴论的基本哲学,也就是大家应该更加注意的是对象间的箭头(态射),而不是对象自身,才刚刚开始在数学上取得一点影响。“格洛腾迪克所做的事情就是将这种哲学应用到数学上很困难的一个论题上去,”波莱尔说,“这真的很符合范畴和函子的精神,不过人们从没有想过在如此困难的论题上使用它… 如果人们已经知道这个陈述,并且明白它在说什么,可能别的某个人可以证明这个陈述。不过单单这个陈述本身就已经领先别的任何人10年时间。”

这个定理,其后也被Gerard Washnitzer在1959年证明,不仅适用于复代数簇——基域特征零的情况——而且也适用于任何本征光滑代数簇而不必在乎基域是什么。赫兹布鲁克-黎曼-洛赫定理即作为特殊情况推出。1963年黎曼-洛赫定理一个影响深远的推广出现了,它就是Michael
Atiyah和Isadore Singer证明的Atiyah-Singer指标定理。在证明的过程中,格洛腾迪克引入了现在叫作格洛腾迪克群的概念,这些群本质上提供了一类新型拓扑不变量。格洛腾迪克自己将它们叫做K-群,他们提供了由Atiyah和Hirzebruch所发展的拓扑K理论的起点。拓扑K理论接着又提供了代数K理论的源动力,这两个领域从此均是研究很活跃的领域。

Arbeitstagung,字面意思即是“工作会议”,是由赫兹布鲁克在波恩大学所发起的,其作为数学前沿研究的论坛已经有四十多年历史了。正是在1957年7月首次Arbeitstagung上格洛腾迪克讲述了他在黎曼-洛赫问题上的工作。不过令人好奇的是,这个结果从没有在他名字下发表;它出现在波莱尔和塞尔的一篇文章[BS]上(这个证明作为一个报告,后来也出现在SGA6中)。正当他在1957年秋访问IAS(高等研究院)的时候,塞尔收到格洛腾迪克的一封信,里面包含了格洛腾迪克证明的概要([Corr]中日期为1957年11月1日的信)。他和波莱尔组织了一个讨论班来试着理解这个定理。因为格洛腾迪克正在忙很多别的事情,他建议他的同事们将讨论班记录下来发表。不过波莱尔推测可能有别的原因让格洛腾迪克对将证明写下来不感兴趣。“格洛腾迪克主要的哲学思想是数学应该被简化为一系列很小而又很自然的步骤,”波莱尔说,“只要你还不能这么做,就说明你还没有理解里面真正的含义…他的黎曼-洛赫证明使用了一个小窍门,une
atuce。因此他不喜欢这个证明,所以也就不想发表它。正好他有别的很多事情要做,他对将这个窍门写下来没有兴趣。”

这并不是格洛腾迪克最后一次革命化一个学科研究问题的观点。“这样的事情是一次又一次不停地发生,他会去考虑有些别人已经花了很久时间、在某些情况下甚至是100年的时间研究过的问题…

最后他完全转变了人们当初认定的这个学科告诉我们的东西。”卡兹评论道。格洛腾迪克不仅会去解决很困难的问题,他还会去继续研究引起这些问题的问题。

新世界大门开启

(我最后终于)意识到这种“我们,伟大而高贵的精神”思维方式,在一种特别极端和恶意的形式下,从我母亲的孩提时代开始,就让她情绪易于激动,并支配着她和别人的关系,让她总是居高临下,带着常常是倨傲甚至于轻蔑的怜悯来看待别人。 ——《收获与播种》,第30页

根据Honig的说法,格洛腾迪克的母亲在他呆在巴西的时候,至少有部分时间也在那里,尽管Honig说自己从没有见过她。我们不清楚她是否跟随儿子去了堪萨斯。当1956年格洛腾迪克回到法国的时候,他们可能就没有住在一起了。在1957年11月于巴黎写给塞尔的信中,格洛腾迪克询问塞尔他是否可以租下塞尔正要搬出的一间巴黎公寓。“我想给我母亲租住这个公寓,她在Bois-Colombes过得不怎么好,而且觉得特别孤独,”格洛腾迪克这样解释。事实上,他母亲在这年底就去世了。

格洛腾迪克的朋友们和同事们都说当他谈及父母双亲的时候总是充满景仰,几乎到了吹捧的地步。在《收获与缝补》一书中,格洛腾迪克也表达了对他们的深厚的孺慕之情。多年里他在办公室里挂了张很醒目的他父亲的肖像,此画是Le Vernet集中营里的难友描绘的。据Pierre
Cartier的描述,这幅肖像画描绘了一个剃着光头、双目“炯炯有神”的男人;很多年里格洛腾迪克自己也剃光头。根据Ribenboin的话,汉卡-格洛腾迪克对她的杰出儿子感到非常骄傲,反过来他也有一种对母亲特别深厚的依赖。

她过世后,格洛腾迪克经历了一段时间来寻找自我,期间他停止了所有的数学活动,还想过去成为一位作家。数月后,他决定重返数学,去完成和一些他已经开始发展的想法相关联的工作。这一年是1958年,根据格洛腾迪克的话,这一年“可能是我数学生涯最多产的一年。”(《收获与播种》,第24页)这个时候他开始和一位叫Mireille的妇女同居,他将在数年后与她结婚,并育有三个孩子:乔安娜, 马修和亚历山大。Mireille和格洛腾迪克的母亲曾经过往甚密,并且据熟悉他俩的人说,她比他大了不少。

得克萨斯大学奥斯汀分校的约翰-特德(John Tate)和他当时的妻子凯伦-特德(Karen Tate)1957-1958学年在巴黎度过,在那儿他们首次见到格洛腾迪克。格洛腾迪克根本就没有表现过那种他归因于母亲的倨傲。“他很友好,同时相当天真和孩子气,”John Tate回忆道,“很多数学家都相当孩子气,有时不通世务,不过格洛腾迪克犹有甚之。他看上去就那么无辜——不工于心计,不伪装自己,也不惺惺作态。他想问题的时候相当清晰,解释问题的时候非常有耐心,没有自觉比别人高明的意思。他没有被任何文明、权力或者高人一等的作风所污染。”Karin Tate回忆说格洛腾迪克乐于享受快乐,他很有魅力,并喜欢开怀大笑。但他也可以变得很极端,用非黑即白的眼光来看待问题,容不得半点灰色地带。另外他很诚实:“你和他在一起的时候总知道他要说的是什么,”她说,“他不假装任何事情。他总是很直接。”她和她的弟弟,麻省理工学院的迈克尔-阿廷(Michael Artin)都觉察到格洛腾迪克的个性和他们的父亲埃米尔-阿廷(Emil Artin)很相似。

格洛腾迪克有着“令人难以置信的理想主义想法”,Karin Tate回忆说。比如说,他不允许在他屋子里有地毯,因为他坚信地毯只是装饰用的奢侈品罢了。她还记得他穿着轮胎做的凉鞋。“他认为这妙极了,”她说,“这些都是他所尊敬的事务的象征——人需要量体裁衣,量力而行。”在他的理想主义原则下,有时候他可能变得特别不合世宜。在格洛腾迪克和Mireille1958年首次访问哈佛之前,他给了Mireille一本他喜欢的小说让她来提高她相当贫乏的英语水平。这本小说就是Moby Dick。

新几何的诞生

按照三十年后的后见之明,现在我可以说就是在1958年,伴随着两件主要工具,概型(scheme,它代表旧概念“代数簇”的一个变形)和拓扑斯(toposes,它代表空间概念的变体,尽管更加复杂)的苏醒,新几何的观点真正诞生了。——《收获与播种》,第23页

1958年8月,格洛腾迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个大会报告。这个报告用一种非凡的先见之明,简要描述了许多他将在未来12年里工作的主题。很清楚这个时候他的目标就是要证明Andre Weil的著名猜想,其揭示了代数簇构成的离散世界和拓扑形成的连续世界的丰富联系。

在这个时候,代数几何的发展非常迅猛,很多未知问题并不需要很多背景知识。起初的时候这个学科主要是研究复数域上的簇。在20世纪初叶,这个领域是意大利数学家,诸如Guido Casternuovo,Federigo Enriques和Francesco Severi等的专长。尽管他们发展了很多的独创思想,但他们的结果不都是通过严格证明得来的。在1930和1940年代,其他一些数学家,包括范德瓦尔登、安德烈-韦依和奥斯卡-察里斯基,打算研究任意数域上的簇,特别是特征p域上的簇,其在数论上很重要。但是,由于意大利代数几何学派严谨性的匮乏,有必要在此领域建筑新的基础。这就是韦依在他1946年出版的《代数几何基础》中所做的事情(Foundations of Algebraic Geometry)。

韦依的猜想出现在他1949年的文章中。由数论中某些问题的启发,韦依研究了一类其一些特殊情况是由Emil Artin引进的zeta函数;它被叫做zeta函数则是因为它是通过和黎曼zeta函数作类比定义得来的。给定定义于特征p的有限域上的一个代数簇V,则可以计算V上在此域上有理点的个数,以及在其每个有限扩域上有理点的个数。将这些数放入一个生产函数中,就得到V的zeta函数。韦依证明了在曲线和Abel簇两种情况下,zeta函数满足三条性质:它是一个有理函数;它满足函数方程;它的零点和极点有某种特定的形式。这种(特定的)形式,经过换元后,恰好和黎曼假设相对应。韦依更进一步观察到,如果V是由某个特征零簇W模p得到的,那么当V的zeta函数表示为有理函数时,W的Betti数就可以从V的zeta函数上读出。韦依猜想就是问,如果在射影非奇异代数簇上定义这样的zeta函数,是否同样的性质还是正确的。特别地,象Betti数这样的拓扑量是否会在zeta函数里面出现?这种猜想中的代数几何和拓扑的联系,暗示当时的一些新工具,比如说为研究拓扑空间而发展出来的上同调理论,可能适用于代数簇。由于和经典黎曼假设的类似,韦依猜想的第三条有时也叫作“同余黎曼假设”;这个猜想后来被证实是三个中最难证明的。

“韦依猜想一经问世,很显然它们会由于某种原因而将扮演一个中心角色,”Katz说道,“这不仅因为它们就是作为‘黑盒子’式的论断也是令人惊异的,而且因为看上去很清楚要解决它们将需要发展很多不可思议的新工具,这些工具它们自身将由于某种原因具有不可思议的价值——这些后来都被证明是完全正确的。”高等研究院的皮埃尔-德林(Pierre Deligne)说(韦依猜想)吸引格洛腾迪克的地方正是代数几何和拓扑的猜测联系。他喜欢这种“将韦依的这个梦想变成强大的机器”的想法,Deligne评论道。

格洛腾迪克不是由于韦依猜想很有名、或者由于别人认为它们很难而对韦依猜想感兴趣的。事实上,他并不是靠对困难问题的挑战来推动自己。他感兴趣的问题,是那些看上去会指向更大而又隐藏着的结构。“他目标在于发现和创造问题的自然栖息之家,”Deligne注意到,“这个部分是他感兴趣的,尤甚于解决问题。”这种方式和同时代另外一位伟大数学家约翰-纳什(John Nash)的方式形成鲜明对照。在他的数学黄金时代,Nash喜欢找那些被他同事们认为是最重要、最有挑战性的问题来做。“Nash象一个奥运会的运动员,”密歇根大学的Hyman Bass评论道。“他对众多的个人挑战感兴趣。”如果Nash不算是一个善于解决问题的理想范例,格洛腾迪克绝对算是建构理论的完美范例。Bass说,格洛腾迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点。”

1958年秋,格洛腾迪克开始了他到哈佛大学数学系的多次访问的第一次。Tate其时正是那里的教授,而系主任是奥斯卡-察里斯基。那时候格洛腾迪克已经用新发展的上同调的方法,重新证明了连通性定理,Zariski最重要的成果之一,于1940年代首次被其证明。根据当时是Zariski学生,现在布朗大学的大卫-曼福德(David
Mumford)的话,Zariski自己从没有学会这些新方法,但是他明白它们的能力,希望他的学生们受到新方法的熏陶,因此他邀请格洛腾迪克来访问哈佛。

Mumford注意到察里斯基和格洛腾迪克他们相处得很好,尽管作为数学家他们是完全不同的。据说察里斯基如果被一个问题难住的时候,就会跑到黑板前,画一条自相交曲线,这样可以帮助他将各种想法条理化。“谣传他会将这画在黑板的一个角落里,然后他会擦掉它,继续做代数运算。”Mumford解释说,“他必须通过创造一个几何图像、重新建构从几何到代数的联系来使自己思维清晰。”根据曼福德的话,这种事格洛腾迪克是绝对不会做的;他似乎从不从例子开始研究,除那些特别简单、几乎是平凡的例子外。除去交换图表外,他也几乎不画图。

当格洛腾迪克首次应邀到哈佛的时候,他和察里斯基在访问前通过几次信,曼福德回忆道。这时离众议院非美活动委员会的时代不久,得到签证的一个要求是访问者宣誓自己不会从事推翻美国政府的活动。格洛腾迪克告诉察里斯基他拒绝做这样的宣誓。当被告知他可能会因此进监狱时,格洛腾迪克说进监狱可以接受,只要学生们可以来探访他而且他有足够多的书可用。

在格洛腾迪克哈佛的讲座上,曼福德发现到抽象化的跃进相当惊险。有一次他询问格洛腾迪克某个引理如何证明,结果得到一个高度抽象的论证作为回复。曼福德开始时不相信如此抽象的论证能够证明如此具体的引理。“于是我走开了,将它想了好几天,结果我意识到它是完全正确的。”曼福德回忆道,“他比我见到的任何人都更具有这种能力,去完成一个绝对令人吃惊的飞跃到某个在度上更抽象的东西上去…他一直都在寻找某种方法来叙述一个问题,看上去很明显地将所有的东西都从问题里抛开,这样你会认为里面什么都没有了。然而还有些东西留了下来,而他能够在这看上去的真空里发现真正的结构。”

英雄岁月

在IHES(高等科学研究所)的英雄岁月里,Dieudonne和我是所里仅有的成员,也是仅有的可以给它带来信誉和科学世界听众的人…
我觉得自己和Dieudonne一起,有点象是我任职的这个研究所的“科学”共同创始人,而且我期望在那里结束我的岁月!我最终强烈地认同IHES… ——《收获与播种》,第169页

1958年6月,在巴黎索邦举行的发起人会议上,高等科学研究所(Institut des Hautes Scientifiques, IHES)正式成立。IHES的创始人Leon Motchane,一位具有物理博士学位的商人,设想在法国成立一个和普林斯顿的高等研究院类似的独立的研究型学院。IHES的最初计划是集中做三个领域的基础研究:数学,理论物理和人类科学方法论。尽管第三个领域从来没有在那立足过,在10年时间里,IHES已经建设成为世界上最顶尖的数学和理论物理中心之一,拥有一群为数不多但素质一流的成员和一个很活跃的访问学者计划。根据科学史家David Aubin的博士论文,就是在1958年爱丁堡数学家大会或者可能更前的时候,Motchane说服Dieudonne和格洛腾迪克接受新设立的IHES的教授职位。Cartier在说Motchane起初希望聘用Dieudonne,而Dieudonne则将格洛腾迪克的聘请作为他接受聘请的一个条件。因为IHES从一开始就是独立于国家的,聘请格洛腾迪克不是一个问题,尽管他是无国籍人。两位教授在1959年3月正式上任,格洛腾迪克在同年5月开始他的代数几何讨论班。Rene
Thom,1958年大会菲尔兹奖章获得者,在1963年10月加入,而IHES的理论物理部随着1962年Louis Michel和1964年David Ruelle的任命开始进行活动。就这样到1960年代中期,Motchane就已经为他的新研究所招募了一群杰出的研究人员。

到1962年的时候,IHES还没有永久的活动场所。办公场所是从Thiers基金会租用的,讨论班也在那里或巴黎的大学里举行。Aubin报道说一位叫Arthur Wightman的IHES早期访问学者就被希望在他的旅馆房间里工作。据说,当一位访问学者告之图书馆资料不足的时候,格洛腾迪克回答说:“我们不读书的,我们是写书的!”的确在最初几年里,研究所的很多活动是围绕“Publications Mathematiques de l’IHES”进行的,它的起初几卷包括奠基性著作Elements de Geometrie Algebrique,其以起首字面缩写EGA而闻名于世。事实上EGA的撰写在Dieudonne和格洛腾迪克正式于IHES上任前半年就已经开始了;里提及最初写作的日期是1958年的秋天。

EGA的著述者通常认为是格洛腾迪克,“与Jean Dieudonne的合作”。格洛腾迪克将笔记和草稿写好,这些然后由Dieudonne充实和完善。根据Armand Borel的解释,格洛腾迪克是把握EGA全局的人,而Dieudonne只是对此有逐行的理解。“Dieudonne将它写得相当繁琐,”Borel评论说。同时,“Dieudonne当然又有令人难以置信的高效。没有别的人可以将它写好而不严重影响自己的工作。”对于当时那些想进入这个领域的人来说,从EGA中学习是一件令人望而生畏的挑战。目前它很少作为这个领域的入门书,因为有其他许多更容易入门的教材可供选择。不过那些教材并没有做EGA打算做的事,也就是完全而系统地解释清楚研究概型所需要的一些工具。现在在波恩的马克斯-普朗克数学研究所的Gerd
Faltings,当他在普林斯顿大学的时候,就鼓励自己的博士研究生去学EGA。对很多数学家而言,EGA仍然是一本有用而全面的参考书。IHES的现任所长Jean-Pierre
Bourguignon说每年研究所仍然要卖掉超过100本的EGA。

格洛腾迪克计划中EGA要包括的东西十分多。在1959年8月给塞尔的信中,他给了个简要的大纲,其中包括基本群,范畴论,留数,对偶,相交数,Weil上同调,加上“如果上帝愿意,一点同伦论”。“除非有不可预知的困难或者我掉入泥沼里去了,这个multiplodocus应该在三年内或最多四年内完成,”格洛腾迪克很乐观地说,此处他应用了他和塞尔的玩笑用语multiplodocus,其意是指一篇很长的文章。“我们接下去就可以开始做代数几何了!”格洛腾迪克欢呼道。后来的情况表明,EGA在经过近乎指数式增长后失去了动力:第一章和第二章每章一卷,第三章两卷,而最后一章第四章则达到了四卷。它们一共有1800多页。尽管EGA没有达到格洛腾迪克计划的要求,它仍然是一项里程碑式的著作。

EGA这个标题仿效Nicolas Bourbaki的《数学原理》系列的标题不是偶然的,正如后者仿效欧几里得的《几何原本》也不偶然一样。格洛腾迪克从1950年代后期开始,数年内曾经是布尔巴基学派的成员,而且他和学派内很多成员关系密切。布尔巴基是一群数学家的笔名,其大多数是法国人,他们在一起合作撰写数学方面一系列基础性的著作。Dieudonne和Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Andre Weil一起,是布尔巴基学派的创始成员。一般情况下学派有10名成员,其组成随着岁月而演化。布尔巴基最早的书出版于1939年,而它的影响在1950年代和1960年代达到了顶峰。这些书籍的目的是对数学的中心领域提供公理化的处理,使其一般性程度足以对最大数目的数学家有用处。这些著作都是经过成员间激烈甚至火爆的辩论的严格考验才诞生的,而这些成员中的许多都有很强的人格和非常个性化的观点。曾是布尔巴基成员25年的波莱尔写道这个合作可能是“数学史上的独特事件”。布尔巴基汇聚了当时许多的顶尖数学家的努力,他们无私的匿名奉献自己的大量时间和精力来撰写教材,使得这个领域的一大部分容易让大家理解。这些教材有很大的影响,到1970和1980年代,有人埋怨布尔巴基的影响太大了。还有人也批评这些书的形式过于抽象和一般化。

布尔巴基和格洛腾迪克的工作有一些相似之处,此表现在抽象化和一般化的程度上,也表现在其目的都是基本、细致而有系统。他们间的主要区别是布尔巴基包括了数学研究的一系列领域,而格洛腾迪克主要关注在代数几何上发展新的思想,以韦依猜想作为其主要的目标。格洛腾迪克的工作差不多集中在他自己的内在观点上,而布尔巴基则是铸造他的成员们的不同观点的结合的合作努力。波莱尔描述了1957年3月布尔巴基的聚会,他称之为“顽固的函子大会”,因为格洛腾迪克提议一篇关于范畴论的Bourbaki草稿应该从一个更范畴论的观点来重写。布尔巴基没有采用这个想法,认为这将导致无穷无尽的基础建设的循环往复。格洛腾迪克“不能够真正和布尔巴基合作,因为他有他自己的庞大机器,而布尔巴基对他而言,还不够一般化,”塞尔回忆说。另外,塞尔评论道:“我认为他不是很喜欢布尔巴基这样的体系,在此我们可以真正详细讨论草稿并且批评它们…这不是他做数学的方式。他想自己单干。”格洛腾迪克在1960年离开布尔巴基,尽管他继续和其中很多成员关系密切。

有些故事传说格洛腾迪克离开布尔巴基是因为他和韦依的冲突,实际上他们在布尔巴基时间上仅仅有很短的重合:根据惯例,成员必须在50岁的时候退休,所以韦依在1956年离开了学派。然而,格洛腾迪克和韦依作为数学家很不一样倒的确是事实。根据Deligne的说法:“韦依不知为何觉得格洛腾迪克对意大利几何学家们的工作和对经典文献阐明的结果太无知了,而且韦依不喜欢这种建造巨大机器的工作方式…他们的风格相当不一样。

除去EGA以外,格洛腾迪克代数几何全集的另外一个主要部分是Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois
Marie,简称SGA,其中包括他的IHES讨论班的演讲的讲义。它们最初由IHES分发。SGA2由North Holland和Masson合作出版的,而其他几卷则是由Springer-Verlag出版。SGA1整理自1960-1961年讨论班,而这个系列最后的SGA7则来自1967-1969年的讨论班。与目的是为了奠基的EGA不一样,SGA描述的是出现在格洛腾迪克讨论班上的正在进行的研究。他也在巴黎布尔巴基讨论班上介绍了很多结果,它们被合集为FGA,即Fondements de la Geometrie Algebrique,其出版于1962年。EGA,SGA和FGA加起来大约有7500页。

魔术扇子

如果说数学里有什么东西让我比对别的东西更着迷的话(毫无疑问,总有些让我着迷的),它既不是“数”也不是“大小”,而是型。在一千零一张通过其型来展示给我的面孔中,让我比其他更着迷的而且会继续让我着迷下去的,就是那隐藏在数学对象下的结构。
《收获与播种》,第27页

在《收获与播种》第一卷里,格洛腾迪克对他的工作作了一个解释性的概括,意在让非数学家能够理解(第25-48页)。在那儿他写道,从最根本上来讲,他的工作是寻找两个世界的统一:“算术世界,其中(所谓的)‘空间’没有连续性的概念,和连续物体的世界,其中的‘空间’在恰当的条件下,可以用分析学家的方法来理解”。韦依猜想如此让人渴望正是因为它们提供了此种统一的线索。胜于直接尝试解决韦依猜想,格洛腾迪克大大地推广了它们的整个内涵。这样做可以让他感知更大的结构,这些猜想所凭依于此结构,却只能给它提供惊鸿一瞥。在《收获与播种》这一节里,格洛腾迪克解释了他工作中一些主要思想,包括概型、层和拓扑斯。

基本上说,概型是代数簇概念的一个推广。给定一组素特征有限域,一个概型就可以产生一组代数簇,而每一个都有它自己与众不同的几何结构。“这些具有不同特征的不同代数簇构成的组可以想象为一个‘由代数簇组成的无限扇面的扇子’(每个特征构成一个扇面),”格洛腾迪克写道.“‘概型’就是这样的魔术扇子,就孺扇子连接很多不同的‘分支’一样,它连接着所有可能特征的‘化身’或‘转世’。”到概型的推广则可以让大家在一个统一方法下,研究一个代数簇所有的不同“化身”。在格洛腾迪克之前,“我认为大家都不真正相信能够这样做,”迈克-阿廷评论说,“这太激进了。没有人有勇气哪怕去想象这个方法可能行,甚至可能在完全一般的情况下都行。这个想法真的太出色了。”

从19世纪意大利数学家Enrico Betti的远见开始,同调和它的对偶上同调那时候已经发展成为研究拓扑空间的工具。基本上说,上同调理论提供一些不变量,这些不变量可以认为是衡量空间的这个或那个方面的‘准尺’。由韦依猜想隐含着的洞察力所激发的巨大期望就是拓扑空间的上同调方法可以适用于簇与概型。这个期望在很大程度上由格洛腾迪克及其合作者的工作实现了。“就象夜以继日一样将这些上同调技巧带到代数几何中”,曼福德注意到。“它完全颠覆了这个领域。这就象傅立叶分析之前和之后的分析学。你一旦知道傅立叶分析的技巧,突然间你看一个函数的时候就有了完全深厚的洞察力。这和上同调很类似。”

层的概念是由让-勒雷所构想而后由亨利-嘉当和让-皮埃尔-塞尔进一步发展的。在他的奠基性文章FAC(“Faisceaux algebriques coherents”,“代数凝聚层”,)中,塞尔论证了如何将层应用到代数几何中去。格洛腾迪克在《收获与播种》中描述了这个概念如何改变了数学的全貌:当层的想法提出来后,就好象原来的五好标准上同调“准尺”突然间繁殖成为一组无穷多个新“准尺”,它们拥有各种各样的大小和形状,每一个都完美地适合它自己独特的衡量任务。更进一步说,一个空间所有层构成的范畴包含了如此多的信息,本质上人们可以“忘记”这个空间本身。所有这些的信息都包括在层里面——格洛腾迪克称此为“沉默而可靠的向导”,引领他走向发现之路。

拓扑斯的概念,如格洛腾迪克所写,是“空间概念的变体”。层的概念提供了一种办法,将空间所依附的拓扑设置,转化为层范畴所依附的范畴设置。拓扑斯则可以描述为这样一个范畴,它尽管无需起因于普通空间,然而却具有所有层范畴的“好”的性质。拓扑斯的概念,格洛腾迪克写道,突出了这样的事实:“对于一个拓扑空间而言真正重要的根本不是它的‘点’或者点构成的子集和它们的亲近关系等等,而是空间上的层和层构成的范畴”。

为了提出拓扑斯的概念,格洛腾迪克“很深入地思考了空间的概念”,Deligne评价道。“他为理解韦依猜想所创立的理论首先是创立拓扑斯的概念,将空间概念推广,然后定义适用于这个问题的拓扑斯,”他解释说。格洛腾迪克也证实了“你可以真正在其上面工作,我们关于普通空间的直觉在拓扑斯上仍然适用…这是一个很深刻的想法。”

在《收获与播种》中格洛腾迪克评论道,从技术观点而言,他在数学上的大多工作集中在发展所缺乏的上同调理论。平展上同调(Etale cohomology)就是这样一种理论,由格洛腾迪克、迈克-阿廷以及其他一些人所发展,其明确意图是应用于韦依猜想,而它确实是最终证明的主要因素之一。但是格洛腾迪克走得更远,发展了motive的概念,他将此描述为“终极上同调不变量”,所有其他的上同调理论都是它的实现或者化身。Motive的完整理论至今还没有发展起来,不过由它产生了大量好的数学。比如,在1970年代,高等研究院的Deligne和Robert Langlands猜想了motives和自守表示间的精确关系。这个猜想,现在是所谓Langlands纲领的一部分,首次以印刷形式出现在一文中。多伦多大学的James Arthur认为彻底证明这个猜想将是数十年后的事情。但他指出,Andrew Wiles的Fermat大定理的证明,本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维motives的特殊情况。另外一个例子是高等研究院的Vladimir Voevodsky在motivic上同调的工作,由此他获得2002年菲尔兹奖章。这个工作发展了格洛腾迪克关于motive的一些原始想法。

在此关于他数学工作的简短回顾中,格洛腾迪克写道,构成它的精华和力量的,不是大的定理,而是“想法,甚至梦想”(第51页)。

格洛腾迪克学派

直到1970年第一次“苏醒”的时候,我和我的学生们的关系,就如我和自己工作的关系一样,是我感到满意和快乐-这些是我生活的和谐感知的切实而无可指责的基础之一-的一个源泉,至今仍有它的意义… ——《收获与播种》,第63页

在1961年秋访问哈佛时,格洛腾迪克致信给塞尔:“哈佛的数学气氛真是棒极了,和巴黎相比是一股真正的清新空气,而巴黎的情况则是一年年里越来越糟糕。这里有一大群学生开始熟悉概型的语言,他们别无所求,只想做些有趣的问题,我们显然是不缺有趣的问题的”。迈克·阿廷,其于1960年在察里斯基指导下完成论文,此时正是哈佛的Benjamin Pierce讲师。完成论文之后,阿廷马上开始学习新的概型语言,他也对平展上同调的概念感兴趣。当格洛腾迪克1961年来哈佛的时候,“我询问他平展上同调的定义,”阿廷笑着回忆说。这个定义当时还没有明确给出来。阿廷说道:“实际上整个秋天我们都在辩论这个定义。”

1962年搬到麻省理工学院后,阿廷开了个关于平展上同调的讨论班。接下去两年大部分时间他在IHES度过,和格洛腾迪克一起工作。平展上同调的定义完成后,仍然还有许多工作要做来驯服这个理论,让它变成一个可以真正使用的工具。“这个定义看上去很美,不过它不保证什么东西是有限的,也不保证可计算,甚至不保证任何东西,”曼福德评论道。这些就是阿廷和格洛腾迪克要投入的工作;其中一个结果就是阿廷可表定理。与让-路易-沃迪耶尔(Jean-Louis Verdier)一起,他们主持了1963-1964年的讨论班,其主题即平展上同调。这个讨论班写成为SGA4的三卷书,一共差不多1600页。

可能有人不同意格洛腾迪克对1960年代早期巴黎数学氛围“糟糕”的评价,但毫无疑问,当他在1961年回到IHES,重新开始他的讨论班时,巴黎的数学氛围得到了相当大的加强。那里的气氛“相当棒”,阿廷回忆说。这个讨论班参加者人数众多,包括巴黎数学界的头面人物以及世界各地来访的数学家。一群出色而好学的学生围绕在格洛腾迪克周围,在他的指导下写论文(由于IHES不授予学位,名义上说他们是巴黎市内外一些大学的学生)。

1962年,IHES搬到它的永久之家,位于巴黎郊区Bures-sur-Yvette一个叫Bois-Marie,宁静而树木丛生的公园里。那个举行讨论班的舞台式建筑,及其大绘图窗户和所赋予的开放而通透的感觉,给这里提供了一种不凡而生动的背景。格洛腾迪克是所有活动的激情四射的中心。“这些讨论班是非常交互式的,”Hyman
Bass回忆说,他于1960年代访问过IHES,“不过不管格洛腾迪克是不是发言人,他都占着统治地位。”他特别严格而且可能对人比较苛求。“他不是不善心,但他也不溺爱学生。”Bass说道。格洛腾迪克发展了一套与学生工作的固定模式。一个典型例子是巴黎南大学的Luc
Illusie(老耶律),他于1964年成为格洛腾迪克的学生。老耶律曾参加了巴黎的亨利-嘉当和洛朗-施瓦兹讨论班,正是嘉当建议老耶律或许可以跟随格洛腾迪克做论文。老耶律其时还只学习过拓扑,很害怕去见这位代数几何之“神”。后来表明,见面的时候格洛腾迪克相当友善,他让老耶律解释自己已经做过的事情。老耶律说了一小段时间后,格洛腾迪克走到黑板前,开始讨论起层、有限性条件、伪凝聚层和其他类似的东西。“黑板上的数学就象海一样,象那奔流的溪流一样,”老耶律回忆道。最后,格洛腾迪克说下一年他打算将讨论班主题定为L-函数和l-adic上同调,老耶律可以帮助记录笔记。当老耶律抗议说他根本不懂代数几何时,格洛腾迪克说没关系:“你很快会学会的。”

老耶律的确学会了。“他讲课非常清楚,而且他花大力气去回顾那些必需的知识,包括所有的预备知识,”老耶律评价道。格洛腾迪克是位优秀的老师,非常有耐心而且擅于清楚解释问题。“他会花时间去解释非常简单的例子,来证明这个机器的确可以运行,”老耶律说。格洛腾迪克会讨论一些形式化的性质,那些常常被人归结到“平凡情况”因而太明显而不需要讨论的性质。通常“你不会去详述它,你不会在它上面花时间,”老耶律说,但这些东西对于教学非常有用。“有时有点冗长,但是它对理解问题很有帮助。”格洛腾迪克给老耶律的任务是记录讨论班一些报告的笔记——准确说,是SGA5的报告I,II和III。笔记完成后,“当我将它们交给他时全身都在发抖,”老耶律回忆道。几个星期后格洛腾迪克告诉老耶律到他家去讨论笔记;他常常与同事和学生在家工作。格洛腾迪克将笔记拿出来放在桌子上后,老耶律看到笔记上涂满了铅笔写的评语。两个人会坐在那里好几个小时来让格洛腾迪克解释每一句评语。“他可能评论一个逗号、一个句号的用法,可能评论一个声调的用法,也可能深刻评论关于一个命题的实质并提出另一种组织方法——各种各样的评论都有,”老耶律说道,“但是他的评语都说到点子上。”这样逐行对笔记做评论是格洛腾迪克指导学生很典型的方法。老耶律回忆起有几个学生因为不能忍受这样近距离的批评,最终在别人指导下写了论文。有个学生一次见过格洛腾迪克后差点流眼泪了。老耶律说:“我记得有些人很不喜欢这样的方式。你必须照这样做…但这些批评不是吹毛求疵。”

Nicholas Katz在他以博士后身份于1968年访问IHES时也被给了个任务。格洛腾迪克建议Katz可以在讨论班上做个关于Lefschetz pencils的报告。“我曾听说过Lefschetz pencils,但除去听说过它们之外我对它们几乎一无所知,”Katz回忆说。“但到年底的时候我已经在讨论班上做过几次报告了,现在这些作为SGA7的一部分留传了下来。我从这里学到了相当多的东西,这对我的未来起了很多影响。”Katz说格洛腾迪克一周内可能会去IHES一次去和访问学者谈话。“绝对令人惊讶的是他不知怎么可以让他们对某些事情感兴趣,给他们一些事情做,”Katz解释说,“而且,在我看来,他有那种令人惊讶的洞察力知道对某个人而言什么问题是个好问题,可以让他去考虑。在数学上,他有种很难言传的非凡魅力,以至于大家觉得几乎是一项荣幸被请求在格洛腾迪克对未来的远见卓识架构里做些事情。

哈佛大学的Barry Mazur至今仍然记得在1960年代早期在IHES和格洛腾迪克最初一次谈话中,格洛腾迪克给他提出的问题,那个问题起初是Gerard
Washnitzer问格洛腾迪克的。

问题是这样的:定义在一个域上的代数簇能否由此域到复数域的两个不同嵌入而得到不同的拓扑微分流形?塞尔早前曾给了些例子说明两个拓扑流形可能不一样,受这个问题的激发,Mazur后来和阿廷在同伦论上做了些工作。但在格洛腾迪克说起这个问题的时候,Mazur还是个全心全意的微分拓扑学家,而这样的问题本来他是不会碰到的。“对于格洛腾迪克,这是个很自然的问题,”Mazur说道,“但对我而言,这恰好是让我开始从代数方面思考的动力。”格洛腾迪克有种真正的天赋来“给人们搭配未解决问题。他会估量你的能力而提出一个问题给你,而它正是将为你照亮世界的东西。这是种相当奇妙而罕见的感知模式。”

在和IHES的同事及学生工作外,格洛腾迪克和巴黎外一大群数学家保持着通信联系,其中有些正在别的地方在部分他的纲领上进行工作。例如,加州大学伯克莱分校的Robin Hartshorne 1961年的时候正在哈佛上学,从格洛腾迪克在那所做的讲座里,他得到关于论文主题的想法,即研究希尔伯特概型。论文完成后Hartshorne给已经回到巴黎的格洛腾迪克寄了一份。在日期署为1962年9月27日的回信中,格洛腾迪克对论文做了些简短的正面评价。“接下去3到4页全是他对我可能可以发展的更深定理的想法和其他些关于这个学科大家应该知道的东西,”Hartshorne说。他注意到信中建议的有些事情是“不可完成的困难”,而其他一些则显示了非凡的远见。倾泄这些想法后,格洛腾迪克又回来谈及论文,给了3页详细的评语。

在他1958年爱丁堡数学家大会的报告中,格洛腾迪克已经概述了他关于对偶理论的想法,但由于他在IHES讨论班中正忙着别的一些主题,没有时间来讨论它。于是Hartshorne提出自己在哈佛开一个关于对偶的讨论班并将笔记记录下来。1963年夏天,格洛腾迪克给了Hartshorne大约250页的教案(prenote),这将成为Hartshorne这年秋天开始的讨论班的基础。听众提出的问题帮助Hartshorne发展和提炼了对偶理论,他并开始将它系统记录下来。他会将每一章都寄给格洛腾迪克来接受批评,“它回来的时候整个都布满了红墨水,”Hartshorne回忆道,“于是我将他说的都改正了并即给他寄新的版本。它被寄回时上面的红墨水更多。”意识到这可能是个无穷尽的过程后,Hartshorne有天决定将手稿拿去出版;此书1966年出现在Springer的Lecture Notes系列里。

格洛腾迪克“有如此多的想法以至基本上他一个人让那时候世界上所有在代数几何上认真工作的人都很忙碌,”Hartshorne注意到。他是如何让这个事业一直运行下来的呢?“我认为这没有什么简单答案,”迈克-阿廷回答说。不过显然格洛腾迪克的充沛精力和知识宽度是一些原因。“他非常的精力充沛,而且他涵盖很多领域,”阿廷说。“他能够完全控制这个领域达12年之久真是太不寻常了,这可不是个懒人集中营。”

在他IHES的岁月里,格洛腾迪克对数学的奉献是完全的。他的非凡精力和工作能力,以及对自身观点的顽强坚持,产生了思维的巨浪,将很多人冲入它的奔涌激流中。他没有在自己所设的令人畏惧的计划面前退缩,反而勇往直前地投入进去,冲向大大小小的目标。“他的数学议程比起一个人能做的要多出很多,”Bass评价道。他将其中很多工作发包给他的学生们和合作者们来做,而自己也做了很大一部分的工作。给予他动力的,如他在《收获与播种》里所解释,就只是理解事情的渴望,而确实,那些知道他的人证明他不是由于什么形式的竞赛来推动自己的。“在那时,从没有过这样要在别人之前证明某个东西的想法,”塞尔解释道。而且在任何时候,“他不会和别的任何人竞赛,一个原因是他希望按他自己的方式来做事情,而几乎没有别的人愿意也这样做。完成它需要太多工作了。”

格洛腾迪克学派的统治地位有些有害的效果。甚至格洛腾迪克IHES的杰出同事,Rene Thom也感到有压力。在中,Thom写道与其他同事的关系比较起来,他与格洛腾迪克的关系“不那么愉快”。“他的技术优势太有决定性了,”Thom写道。“他的讨论班吸引了整个巴黎数学界,而我则没有什么新的东西可供给大家。这促使我离开了严肃数学世界而去处理更一般的概念,比如组织形态的发生,这个学科让我更感兴趣,引导我走向一个很一般形式的‘哲学’生物学。”

在他1988年的教材《本科生代数几何》最后的历史性评论中,Miles Reid写道:“对格洛腾迪克的个人崇拜有些严重的副作用:许多曾经花了一生很大一部分时间去掌握韦依的代数几何基础的人觉得受到了拒绝和羞辱…整整一代学生(主要是法国人)被洗脑而愚蠢地认为如果一个问题不能放置于高效能的抽象框架里就不值得去研究。”如此“洗脑”可能是时代时尚无法避免的副产品,尽管格洛腾迪克自己从来不是为抽象化而追求抽象化的。

Reid也注意到,除去少数可以“跟上步伐并生存下来”的格洛腾迪克的学生,从他的思想里得益最多的是那些在一段距离外受影响的人,特别是美国,日本和俄国的数学家。Pierre Cartier在俄国数学家,如Vladimir Drinfeld,Maxim Kontsevich,Yuri Manin和Vladimir Voevodsky的工作中看到了格洛腾迪克思想的传承。Cartier说:“他们抓住了格洛腾迪克的真正精神,但他们能够将它和其他东西结合起来。”


一种不同的思考方式对发现工作而言,特别的关注和激情四射的热情是一种本质的力量,就如同阳光的温暖对于埋藏在富饶土壤里的种子的蛰伏成长和它们在阳光下柔顺而不可思议的绽放所起的作用一样。——《收获与播种》,第49页

格洛腾迪克有他自己一套研究数学的方式。正如麻省理工学院的Michael Artin所言,在1950年代晚期和1960年代“数学世界需要适应他,适应他抽象化思维的力量”。现在格洛腾迪克的观点已经如此深入地被吸收到代数几何里面,以至于对现在开始这个领域研究的研究生而言它是再正常不过的了,他们中很多人没有意识到以前的情形是相当不一样的。普林斯顿大学的Nicholas Katz说在他作为一个年青数学家首次接触到格洛腾迪克思考问题的方式时,这种方式在他看来是与以前完全不同的全新的方式。如Katz所指出,这种观念的转换是如此的根本和卓有成效,而且一旦得到采用后是如此完全的自然以至于“很难想象在你这样考虑问题之前的时代是什么样子的”。

尽管格洛腾迪克从一个非常一般化的观点来研究问题,他并不是为了一般化而这样做的,而是因为他可以采用一般化观点而成果丰硕。“这种研究方式在那些天赋稍缺的人手里只会导致大多少人所谓的毫无意义的一般化,”Katz评价说,“而他不知何故却知道应该去思考哪样的一般问题。”格洛腾迪克一直是寻找最恰好的一般情形,它正好能够提供正确的杠杆作用来领悟问题。“一次接一次地,他看上去就有一个诀窍,(在研究问题时)去掉恰当多的东西,而留存下来的不是特殊情况,也不是真空,”得克萨斯大学奥斯汀分校的John Tate评论道,“它如同行云流水,不带累赘。它就是恰如其分的好。”

格洛腾迪克思考问题模式的一个很显著的特征是他好像几乎从不依赖例子。这个可以从所谓的“格洛腾迪克素数”的传说中看出。在一次数学讨论中,有人建议格洛腾迪克他们应该考虑一个特殊素数。“你是说一个具体的数?”格洛腾迪克问道。那人回答说是的,一个具体的素数。格洛腾迪克建议道:“行。就选57。”那格洛腾迪克一定知道57不是一个素数,对吧?完全错了,布朗大学的David Mumford说道。“他不从具体例子来思考问题。”与他对照的是印度数学家Ramanujan,他对很多数的性质非常熟悉,其中有些相当巨大。那种类型的思考方式代表了和格洛腾迪克的方式正相对应的数学世界。“他真的从没有在特例里下功夫,”Mumford观察到,“我只能从例子中来理解事情,然后逐渐让它们更抽象些。我不认为这样先看一个例子对格洛腾迪克有一丁点帮助。他真的是从绝对最大限度的抽象方式中思考问题来掌握局势的。这是很奇怪 ,但他的脑袋是如此工作的。”巴塞尔大学的Norbert A’Campo有次问及格洛腾迪克关于柏拉图体的一些情况,格洛腾迪克建议他小心点。他说,柏拉图体是如此漂亮而特殊,人们不应该设想如此特别的美好东西在更一般情形下仍然会保持。

格洛腾迪克曾经这样说过,一个人从来就不应该试着去证明那些几乎不显然的东西。这句话意思不是说大家在选择研究的问题时不要有抱负。而是,“如果你看不出你正在工作的问题不是几乎显然的话,那么你还不到研究它的时候,”加州大学伯克莱分校的Arthur Ogus如此解释:“在这个方向再做些准备吧。而这就是他研究数学的方式,每样东西都应该如此自然,它看上去是完全直接的。”很多数学家会选择一个描述清晰的问题来敲打它,这种方式格洛腾迪克很不喜欢。在《收获与播种》一段广为人知的段落里,他将这种方式比喻成拿着锤子和凿子去敲核桃。他自己宁愿将核桃放在水里将壳泡软,或者将它放在阳光和雨下,等待核桃自然爆裂的恰当时机(第552-553页)。“因此格洛腾迪克所做的很多事情就象是事情的自然面貌一样,因为它看上去是自己长出来的,”Ogus注意到。

格洛腾迪克有着给新的数学概念选取印象深刻、唤起大家注意力的名字的才能;事实上他将给数学对象命名这种行为作为它们的发现之旅的一个有机组成部分,作为一种掌握它们的方式,甚至在它们还没有被完全理解之前(《收获与播种》,第24页)。一个这样的术语是etale(平展),在法语里面它原是用来表示缓潮时候的海,也就是说,此时既不涨潮,也不退潮。在缓潮的时候海面就象展开的床单一样,这就会让人唤起覆盖空间的概念。如格洛腾迪克在《收获与播种》中所解释的,他选用topos这个词,其在希腊文里的原意即“空间”,来暗示“拓扑直觉适用的‘卓越对象’”这样一个想法(第40-41页)。

和这个想法相配,topos就暗示了最根本,最原始的空间概念。“motif”(英文里的“motive”)这个概念意在唤起这个词的双重意思:一个反复出现的主题和造成行动的原因。格洛腾迪克对取名的关注意味着他厌恶那些看上去不合适的术语:在《收获与播种》中,他说自己在第一次听到perverse sheaf这个概念时感到有种“本能的退缩”。“真是一个糟糕的想法,去将这样一个名字给予一个数学对象!”他写道,“或者给予任何事务或者生物,除去在苛责一个人的时候——因为显而易见,对于宇宙里所有‘东西’来说,我们人类是唯一这个术语可以适用的”(第293页)。

尽管格洛腾迪克拥有伟大的技术能力,这一直都是第二位的;这只是他执行他的更大的观点的方式而已。众所周知,他证明了某些结果和发展了某些工具,但他最大的遗产是创立了数学的一个新的观点。从这方面来说,格洛腾迪克和Evariste Galois(伽罗瓦)相似。的确,在《收获与播种》很多处,格洛腾迪克写道他很强烈地认同Galois。他也提到年青时候读过一本由Leopold
Infeld撰写的Galois的传记[Infeld](第63页)。

最终来说,格洛腾迪克在数学上的成就的源泉是某种相当谦卑的东西:他对他所研究的数学对象的爱。

停滞的精神

从1945年(我17岁的时候)到1969年(我42岁的时候),二十五年里我几乎将我的全部精力都投入到数学研究中。这自然是过多的投入了。我为此付出了长期的精神上的停滞的代价,这种停滞越来越“缺乏活力”,这些我在《收获与播种》中不止一次提到过。——《收获与播种》,第17页

在1960年代,哈佛大学的Barry Mazur和他妻子访问过高等科学研究所(IHES)。尽管那时候格洛腾迪克已经有了自己的家庭和房子,他仍然在Mazur居住的大楼里保留了一间公寓,并且常常在那里工作到深夜。由于公寓的钥匙不能开外面的门,而这道门到晚上11点的时候就锁上了,在巴黎度过一个晚上后回到大楼就会有困难。但是“我记得我们从来没有遇到过麻烦,”Mazur回忆道。“我们会乘末班火车回来,百分之百的确信格洛腾迪克还在工作,而他的书桌靠着窗。我们会扔点石子到他窗户上,他就会来为我们开门。”格洛腾迪克的公寓只是简单装修了一下;Mazur记得里面有一只电线做的山羊雕塑和一个装满西班牙橄榄的缸子。

这种格洛腾迪克在一间斯巴达式的公寓里工作到深夜的略显孤独的形象刻划了1960年代他的生活的一个方面。那个时候他不停地研究数学。他得和同事们讨论问题,指导学生们的学习,做讲座,和法国外的数学家们保持广泛联系,还得去撰写看上去没有尽头的EGA和SGA。毫不夸张地说他单枪匹马地领导了世界范围内代数几何里一个巨大而蓬勃发展的部分。他在数学外似乎没有多少爱好;同事们说他从来不看报纸。就是在数学家中间,他们习惯于诚实而且高度投入对待工作,格洛腾迪克也是一个异类。“整整十年里格洛腾迪克一周七天,一天十二个小时研究代数几何的基础,”他的IHES同事David Ruelle注意到。

“他已经完成了这座一定得有10层高的楼房的-1层的工作,而正在第0层上工作…到一定时候很清楚你永远也盖不成这座大楼。”

格洛腾迪克醉心于数学研究如此极度是他在《收获与播种》里面提到的“精神上的停滞” 的一个原因,这个接下来则是他在1970年离开他已经成为其中一个领袖人物的数学世界的一个原因。朝向他的离去迈出的一步是IHES内部的一次危机,此危机导致了他的辞职。从1969年末开始,格洛腾迪克卷入了和IHES创始人和所长Leon Motchane关于研究所来自军事方面的资助的冲突。如科学史家David Aubin于[Aubin]中所解释,在1960年代,IHES的经费很不稳定,有些年里研究所从一些法国军事机构获得它的一小部分预算,其额度从没有超过5%。所有IHES的永久教授们对于军事资助都有疑虑,在1969年他们坚持要Motchane放弃接受如此的资助。Montchane起初同意了,但是,Aubin注意到,他在数月后收回了他的话,当IHES的预算岌岌可危的时候,他接受了陆军部长一笔基金。格洛腾迪克感到非常愤怒,他徒然地劝说其他教授和他一起辞职但是没有人同意去做。不到一年前,很大程度上由于格洛腾迪克的推荐,Pierre Deligne作为永久教授加入IHES,格洛腾迪克劝说他这位新任命的同事和他一起辞职。Deligne也拒绝了。“因为我在数学上和他非常亲密,格洛腾迪克很惊讶而且深深失望这种数学思想上的亲密没有延伸到数学之外,”Deligne回忆道。格洛腾迪克的辞职信写于1970年5月25日。

他与IHES的决裂是格洛腾迪克生平所发生的意义深远的转向的最明显的标志。靠近1960年代末期的时候还有其他一些信号。有些很小。Mazur回忆道当他在1968年访问IHES的时候,格洛腾迪克告诉他自己去看电影了——这可能是10年里的第一次。有些则比较大。1966年当他在莫斯科国际数学家大会上荣获菲尔兹奖章的时候,格洛腾迪克拒绝参加来作为对苏联政府的抗议。1967年格洛腾迪克在越南旅行了3周,那里显然给了他留下很深印象。他关于越南之行的书面记述[Vietnam]描写了那些为数众多的空袭警报和一次让两位数学教师遇难的轰炸,以及越南人在他们的国度里培植数学生活的英勇行动。和一位叫Mitrea
Dumitrescu的罗马尼亚外科医生的友谊让格洛腾迪克在1960年代后期做了一次相当严肃的学习生物学知识冒险。他还和Ruelle讨论过物理。

发生在不平凡的1968年的那些事情一定对格洛腾迪克也有影响。那一年里全世界范围内经历了学生的抗议示威和社会的剧变,以及苏联对“布拉格之春”的残酷镇压。在法国,1968年5月,大学生们罢课时运动达到了沸点,政府的政策造成了大规模的示威活动,而示威很快就演变成为暴乱。在巴黎,成千上万的学生、老师和工人上街抗议警察的暴力,而法国政府,出于对革命的害怕,在城市周围驻扎了坦克。数百万的工人开始罢工,让整个国家瘫痪了两周时间。Karen Tate,她其时正和她当时的丈夫John Tate住在巴黎,回忆起当时无处不在的混乱。“铺路的石头,短棍和其它手边可以用来投射的东西在空中飞翔,”她说。“很快整个国家陷入了停顿。没有汽油(卡车司机在罢工),没有火车(火车工人在罢工),垃圾在巴黎市内堆积如山(环卫工人在罢工),商店架子上没有多少食品。”她和John逃到Bures-sur-Yvette,在那里她的弟弟Micheal Artin正在访问IHES。在这次冲突中许多巴黎数学家站在学生一边。Karin Tate说示威是统治她所知道的数学家之间交谈的话题,尽管她不记得是否和格洛腾迪克讨论过这个话题。

格洛腾迪克从IHES辞职后不久,他就投入了一个对他而言全新的世界,政治示威的世界。在1970年6月26日在巴黎南大学(Universite de Paris in Orsay)的讲演里,他没有说起数学,而是谈论了核武器不停增多对人类生存造成的威胁,并呼吁科学家们和数学家们不要以任何形式和军队合作。Nicholas
Katz,他刚来IHES访问并惊讶地听到格洛腾迪克的辞职,参加了这次演讲,根据他的说法,演讲吸引了数百人,在一个非常拥挤的报告厅里举行。Katz回忆道在讲演中格洛腾迪克甚至说,考虑到这些对于人类迫在眉睫的威胁,数学研究实际上也是“有害的”。

这次讲演的一个书面版本,“当今世界学者的责任:学者和军事设备”,作为一个未发表的手稿在世上传播。在其中一个附录里描述了参加讲演的学生的敌意反应,他们散发些小纸条嘲弄格洛腾迪克。其中一个纸条在附录里复制了下来;是一个典型的口号:“成功,僵化,自我毁灭:如何成为一个由格洛腾迪克遥控的小概型”。很清楚他被认为是成功人士里令人憎恶的一员。

在这个手稿另一篇附录里,格洛腾迪克提议成立一个组织来为在环境恶化和军事冲突下人类的生存而战斗。这个名叫“生存”的组织在1970年7月成立,正值格洛腾迪克在蒙特利尔大学一个代数几何暑期学校上第二次做他的Orsay讲演的时候。“生存”的主要活动是出版与它同名的时事通讯,其第一期由格洛腾迪克用英文撰写,时间为1970年8月。这个时事通讯里描绘了一个雄心勃勃的日程,包括科学书籍的出版,以目标群为非专家的关于科学的公共课程的组织和对接受军事资助的科研机构的抵制。

第一期上刊登了这个组织成员的名字、职业和地址的名单,一共有25人。名单上有一些数学家、格洛腾迪克的岳母和他的儿子Serge。这个组织的主持人是格洛腾迪克和其他三位数学家:Claude Chevalley,Denis Guedj和Pierre Samuel(《收获与播种》,第758页)。“生存”是骚动的1960年代后涌现的许多左翼组织之一;在美国的一个类似组织是“数学行动组织”。由于太小而且成员散得很开而不能获得很大影响,“生存”在巴黎比在美国和加拿大要活跃些,主要归因于格洛腾迪克的存在。当他在1973年离开巴黎时,这个组织就逐渐消失了。

在1970年夏天尼斯的ICM大会上,格洛腾迪克试着为“生存”招募新的成员。他写道,“我预期有大量的入会登记——结果(如果我没记错的话),有两到三个人”(《收获与播种》,第758页)。然而,他的劝诱改宗引起了大量的注意。“首先,他是数学界那时候的世界明星之一,”参加了大会的IHES的Pierre Cartier说道,“而且,你应该记得那时候的政治气氛。”许多数学家反对越南战争并同情“生存”的反军队立场。Cartier说,在大会时,格洛腾迪克在展览区两家出版商摊位间偷偷地塞进一张桌子,并在他儿子Serge的帮助下,开始派发“生存”的时事通讯。这导致了他与老同事和朋友Dieudonne的激烈争吵,其时Dieudonne是1964年成立的尼斯大学理学院首任院长,并负责那里举行的ICM大会。Cartier说道他和别的一些人不成功地劝说Dieudonne允许这个“非官方摊位”。

最终格洛腾迪克将桌子挪到大会举行的大厅前面的街上。但另一个问题出现了:在与尼斯市长棘手协商后,大会组织者承诺不会有街头示威。警察开始询问格洛腾迪克,最后警察首长也到了。格洛腾迪克被要求只要将桌子移后几码,让它不在行人道上就可以了。“他拒绝了,”Cartier回忆道,“他想被送到监狱去。他真的想被送到监狱去!”最后,Cartier说,他和一些其他人将桌子移后,足以让警察满意。

尽管格洛腾迪克投入政治很突然,他决不是孤独的。他的好朋友Cartier有着相当长的政治行动的历史。比如说,他是那些利用华沙1983年ICM大会召开的时机协商以致波兰150位政治犯获得释放的数学家之一。Cartier将他的行动主义归因于他的老师和(政治)导师Laurent Schwartz树立的榜样,他是法国政治声音最响亮、活动最积极的学术界人员之一。Schwartz是格洛腾迪克的论文导师。另一位格洛腾迪克熟悉的法国数学家Pierre Samuel是法国绿党的创始人之一。在法国以外,很多数学家政治上也很活跃。在北美最为人知的有Chandler Davis和Stephen Smale,他们都深入卷入了反对越战的示威。

但是尽管他的强烈信念,格洛腾迪克从来没有在真实世界的政治中留下过印象。“他内心里一直是个无政府主义者,”Cartier观察到,“在很多情况下,我的基本立场和他的立场相差不远。但他是如此天真以致在政治上和他做点事情根本不可能。”而且他还相当傲慢。Cartier回忆道,1965年法国一次不确定结果的总统大选后,报纸的头条是戴高乐还没有被选上。格洛腾迪克询问道这是否意味法国将不会有总统了。Cartier不得不向他解释什么叫重选。“格洛腾迪克是个政治文盲,”Cartier说。但他的确想帮助大家:给那些无家可归者或者其他需要的人士提供几周的住处对于格洛腾迪克并不是什么不寻常的事。“他非常慷慨,他一直非常慷慨,”Cartier说,“他记得他的少年时代,他困难的少年时代,那时候他母亲一无所有,他时刻准备着来给予帮助——但是这种帮助不是政治上的。”

疯狂的70年代

1970年我从一个环境进入到另一个环境——从“第一流”人士所处的环境来到“沼泽地”;突然间,我的大多数新朋友们是一年前这个地区中我还心照不宣地置之于无名无貌的那群人。这个所谓的沼泽突然间动了起来,从这些和我共同历险——另外一个历险——的朋友们的脸上展现出生命的迹象。 ——《收获与播种》,第38页

“荣誉勋位勋章(Legion d’Honneur)!荣誉勋位勋章!”格洛腾迪克从礼堂后部大喊,手里挥动着一张纸,上面描摹着荣誉军团十字勋章,由法国政府授予的殊勋。这个场景发生在一次关于模函数的暑期学校开幕当天,其于1972年夏天在安特卫普举行并得到北大西洋公约组织(NATO)的资助。格洛腾迪克长期以来的朋友,Jean-Pierre Serre,刚刚被授予荣誉勋位勋章,正在台上发表开幕演说。格洛腾迪克走近Serre问道:“你是否介意我到讲台上说点事情?”Serre回答说,“是,我很介意”然后离开了礼堂。格洛腾迪克走上讲台开始演说反对北约对这次大会的支持。别的一些数学家也同情这种观点:一个例子是Roger Godement,他于1971年4月发表了一封公开信来说明他拒绝参加这次会议的理由。

其时不为格洛腾迪克所知的是,Cartier和其他一些对于北约的资助感到不安的数学家已经做了详细的协商,请来一位北约代表与会和他们公开辩论。Cartier和其他人将格洛腾迪克劝下讲台,但是损失已经产生了:Cartier很快就收到这位北约代表打来的愤怒的电话,他已经听说了这次爆发而拒绝前来,深信作一次有序的辩论的条件已经被破坏了。“对于我来说,这是件很悲哀的事,因为就我的记忆,我认为听众中大多数人政治上站在格洛腾迪克这一边。”Cartier注意到,“就是和他的政治观点或者社会观点接近的人也反对他这种行为…他表现得就象个十几岁的野孩子。”

到安特卫普会议的时候,格洛腾迪克已经切断了很多曾经围绕着他的专注于数学的有序生活的联系。首先,他不再有一个永久职位。在他1970年离开IHES后,Serre给他在法兰西学院安排了一个为期两年的访问职位。这个精英学院和法国其他大学运作不一样(从这点来说,和别的任何地方都不一样)。学院里每一位教授必须提交他或者她这一年里计划讲授的课程的提纲,给由所有教授组成的大会上来获得批准。Serre回忆道格洛腾迪克提交了两个纲要:一个是关于数学的而另一个是关于“生存”组织所关心的政治主题。委员会批准了数学提纲而拒绝了另一个提纲。于是格洛腾迪克在数学讲演前会发表长篇政治演说。两年后,他申请法兰西学院一个由于Szolem Mandelbrojt 的退休而空缺下来的永久职位。格洛腾迪克递交的CV(curriculum vitae,简历)中明白地表示他计划放弃数学而专注于那些他认为远比数学更紧急的任务:“生存的需要和我们星球稳定而人道的秩序的提倡。”学院怎么可能给一个人数学职位而他却申明自己不再做数学了呢?“他被很正确地拒绝了,”Serre说道。

也就是在格洛腾迪克离开IHES不久这段时期,他的家庭生活破碎了,他和妻子分居。在离开IHES两年内,格洛腾迪克花了很多时间在北美的大学数学系里讲演。他坚持只有也安排他作政治演说的时候他才会去作数学报告,通过这来传播他的“生存”信仰。在1972年5月一次这样的旅行中,他访问了Rutgers大学并遇见了Justine Bumby(那时候的姓是Skalba),她当时是Daniel Gorenstein的学生。被格洛腾迪克的个人魅力所俘虏,Bumby抛弃了她的研究生生活来追随他,先是陪他美国之行剩余的部分,然后来到法国,在那里她和他共同生活了两年。“他是我见过的最聪明的人,”她说道,“我非常敬畏他。”

他们的一起生活在某些方面象征了1970年代那些反文化的年代。有一次,在Avignon一次和平示威中,警察开始干预,骚扰并驱逐示威者。当他们开始对付格洛腾迪克的时候,他变得非常愤怒,Bumby回忆道。“他是个好拳击手,因此很敏捷,”她说,“我们看到警察向我们走来,大家都很害怕,接下去我们看到的是这两个警察已经躺在地上了。”格洛腾迪克独手打发了两个警察。其他警察将格洛腾迪克制伏后,Bumby和他被捆着放在一辆货车里送到警察局。当他的身份文件显示他是法兰西学院的教授后,他们俩被送去见警察局长,他和他们用英语交谈,因为Bumby不会说法语。一段短暂的谈话后,在其中警察局长表达了他希望避免教授和警察发生冲突的愿望,警方没有提起控诉而释放了他们俩。

Bumby来到法国和格洛腾迪克一起后不久,他在巴黎南面Chatenay-Malabry租下的一个大房子里组织了一个公社,他们一起住在那里。她说他在房子的地下室售卖有机蔬菜和海盐。这个公社是个忙乱的地方:Bumby说格洛腾迪克在里面开会来讨论“生存”组织提出的一些问题,会议的参加者可能达百人之多,也吸引了相当的媒体关注。然而,公社由于成员间相当复杂的个人关系而很快解散了。就在这个时候格洛腾迪克在法兰西学院的位置结束了,在1972年秋天他接受了巴黎南大学一个临时的为期一年的教学职位。这之后,格洛腾迪克得到了一个叫做professeur a titre personnel的位置,这个位置是为个人设立的而可以带到法国任何大学里去。格洛腾迪克将他的位置带到蒙彼利尔大学,在那里他一直呆到1988年退休。

1973年春天他和Bumby搬到法国南部一个叫Olmetle-sec的乡村村庄里。这个地区那时候是嘻皮士和其他那些在反文化运动中渴望回到一种靠近土地的简单生活方式中去的人的集中地。在这里格洛腾迪克又尝试开办公社,但是个人矛盾导致了它的失败。在不同的时候,格洛腾迪克的三个孩子在巴黎和在Olmetle开办的公社住过。后面这个公社解散后,格洛腾迪克和Bumby及他的孩子搬到不远处的Villeucun。Bumby注意到格洛腾迪克很难适应这些被吸引到反文化运动的人们的处事方式。“他数学上的学生都是很认真的,而且很有纪律,工作非常努力,”她说道,“在反文化运动中他则见到些整天晃荡听音乐的人。”曾经作为数学上无可置疑的领袖,格洛腾迪克发现自己正处在一个非常不同的环境里,在这里他的观点不是一直都被认真看待的。“在做代数几何的时候他习惯于别人认同他的观点,”Bumby评价道,“当他转向政治时,所有那些以前应该会同意他的人突然间和他意见相左了…这可不是他习惯的事。”

尽管格洛腾迪克大部分时候非常温情,非常有爱心,Bumby说,他有时候情绪会有激烈的爆发,接下去是一段时期内沉默冷淡。也有些时候在烦扰时他会用德语自言自语,尽管她不懂德语。“他会不停地说下去就当我不在那一样,”她说道,“这有点让人害怕。”他很节俭,有时候是强制性地节俭:一次,为避免将剩下的三夸脱的咖啡倒掉,他就喝了它——结果可想而知,他很快生了病。Bumby说她认为他的说德语和过度节俭在心理学上可能和他童年时遭受的困苦、特别是他和母亲在战俘收容所生活那段时期有关联。

格洛腾迪克可能曾经遭遇过某种形式的心理崩溃,如今Bumby还想知道当时她是否应该为他寻求治疗。他是否会去接受这样的治疗我们也不清楚。在他们的儿子约翰于1973年秋天降生后不久他们就分手了。在巴黎呆了一段时间后,Bumby搬回美国。她和Rutgers大学一位叫Richard
Bumby,丧偶的数学家结婚,他们共同抚养约翰和Richard的两个女儿。约翰显示了相当的数学才能,他是哈佛大学数学专业的学生。最近他在Rutgers完成统计学博士学位学业。格洛腾迪克和他这个儿子没有联系。

在1970年代早期,格洛腾迪克的兴趣和他抛在脑后的那个数学世界的人们很不一样。但是那个世界在1973年夏天以一种高调的方式闯入了,此时在英国剑桥大学举行的向W.V.D. Hodge致敬的会议上,Pierre Deligne做了一系列的演讲,叙述他关于韦依猜想中最后也是最顽固的那个猜想的证明。格洛腾迪克以前的学生老耶律参加了会议并写信告诉他这个消息。出于想知道更多一些情况,格洛腾迪克由Bumby陪同在1973年7月访问了IHES。

1959年Bernard Dwork使用p-adic的方法证明了第一韦依猜想(它是说有限域上的代数簇的zeta函数是有理函数)。格洛腾迪克1964年的l-adic证明则更一般并引入了他的“六种运算的形式化”。在1960年代,格洛腾迪克也证明了第二韦依猜想(它是说代数簇的zeta函数满足函数方程)。去寻求方法来证明最后一个韦依猜想(有时候也叫“同余黎曼假设”)是他很多工作的主要推动力。他提出了他所谓的“标准猜想”,这些如果被证明了,则推出所有的韦依猜想。标准猜想在差不多同一时候也被Enrico Bombieri独立提出。

到现在,标准猜想还是不可接近的。在证明最后的韦依猜想的时候,Deligne找到一个聪明方法让他可以绕过它们。他使用的一个主要思想来自R.A.Rankin一篇关于模形式经典理论的文章而格洛腾迪克不清楚这篇文章。如John Tate指出,“对于最后的韦依猜想证明,你需要另外一个更经典的成分。那是格洛腾迪克的盲点。”
当Bumby和格洛腾迪克那个夏天出现在IHES的时候,其中一个访问学者是明尼苏达大学的William Messing。Messing在1966年时首次见到格洛腾迪克,在他作为普林斯顿大学研究生参加格洛腾迪克在Haverford学院做的一系列报告的时候。这些报告给Messing留下了深刻印象,格洛腾迪克成为他非正式的论文导师。1970年Messing在蒙特利尔会议上“生存”组织成立的时候加入了组织。接下一年,当格洛腾迪克访问安大略省的Kingston大学(? 应该是Queens大学)时,他和Messing驾车去看望了Alex Jameson,一位住在纽约布法罗市附近保留地的印第安人活动家。格洛腾迪克正在追求一个堂吉柯德式的梦想来帮助印第安人解决关于土地条约的一个争端。

在1973年夏天,Messing住在Ormaille——为IHES访问者所提供的一组住房——的一个小单间里。在数学家中间弥漫着对于Deligne的突破产生的兴奋气氛。“格洛腾迪克正和Justine(Bumby)一起,”Messing回忆道,“他们过来吃晚饭,Katz和我花了整个晚上解释给格洛腾迪克在Deligne关于最后韦依猜想的证明中主要的新的和不同的东西。他相当兴奋。”同时,格洛腾迪克也显示出对证明绕开回答标准猜想是否正确这个问题的失望。

“我认为他当然会非常高兴,如果他自己能够证明所有的韦依猜想,”Katz评价道,“但是在他脑子里,韦依猜想很重要是因为它们是那座反映了他想发现和发展的数学上的一些根本结构的冰山的一角。”标准猜想的证明则可以更加清楚地显示这些结构。

在这次访问中,格洛腾迪克后来也和Deligne本人见面来讨论这个证明。Deligne回忆道格洛腾迪克对这个证明的兴趣不如如果证明是用motive的理论引起的兴趣。“如果我使用motives证明了它,他一定会非常兴奋,因为这意味着motives的理论得到发展了,”Deligne评论道,“由于这个证明使用了一个技巧,他就不那么关心了。”为尝试发展motives的理论,格洛腾迪克遇到一个主要技术难题。“最严重的问题是,要让他关于motives的想法工作,一定得能够构造足够多的代数链,”Deligne解释道,“我想他一定很努力地尝试过但是失败了。而从此以后没有人获得成功。”根据Deligne的意思,发展motives理论遇到的这个技术障碍可能远比他不能够证明最后的韦依猜想更让格洛腾迪克感到沮丧。
仿佛来自虚空(13)

遥远的声音

  我在1970年离开数学的“伟大世界”…在从事数年反对军用和维持社会生态的如“文化大革命”形式的战斗后,关于这些毫无疑问你曾经在这儿或那儿听到过一些情况,我几乎从大家的视线里消失了,迷失在某个省份一所大学里,天知道是在哪里。谣言是说我去放羊和钻井来消磨时光。实际上我不是去从事许多其他的职业,而是勇敢地,如同任何人一样,去系里面教课(这是我起初赚取面包的方式,到现在还是这样)。——《收获与播种》,第L3页

当格洛腾迪克在1973年来到蒙彼利尔大学时,Yves
Ladegaillerie,时年25岁,3年前刚从巴黎Poincare研究所获得博士学位,是那儿一位大学讲师。格洛腾迪克提议Ladegaillerie跟他在拓扑方面做these d’etat(第二论文,证明其可以从事某项职业),因此花了大量时间来指导这位年轻数学家适应他的观点和方法。在一个关于格洛腾迪克的简短回忆中,Ladagaillerie写道:“我在巴黎时候曾经有那个时代一些伟大数学家,从Schwartz到Cartan作为老师,但是格洛腾迪克完全不同,如同一个外星人。他不是去将事情翻译成另外一种语言,而是直接用现代结构数学的语言来思考和叙述,这种结构数学的建立他作出过很大贡献”。一次,为了验证某个关于辫子的代数计算,Ladegaillerie用线和一个带孔的小木版做了个小小模型。这个让格洛腾迪克开怀大笑:“那个时刻,他就象站在刚表演完戏法的巫师前面的一个孩子,他告诉我:‘我永远也不会想到这样去做’。”

格洛腾迪克在离蒙彼利尔35英里的Villecun一个没有电的老房子里面过着一种苦行僧式的的非传统的生活。Ladegaillerie记得在那看到过Justine Bumby和她的小婴儿,不过很快她就走了。许多朋友、熟人和学生去那里拜访过格洛腾迪克,包括那些在生态运动方面的人。1974年一位日本佛教传教团的领队去访问了格洛腾迪克,从那以后,很多佛教信徒造访过他家(《收获与播种》第759页)。有一次,招待一位旅行证件不完整的和尚后,格洛腾迪克成为法国历史上第一位由于1949年通过的一条不引人注意的法律:“免费给处于非正常状态的陌生人提供住处和食物”非法,而受到起诉的人(《收获与播种》,第53页)。作为一个整个一生没有国籍的人,格洛腾迪克非常愤怒,他试着发起一项运动来发对这项法律。他甚至去巴黎在一次布尔巴基讨论班上说起这个。他的运动成为了法国国家级报纸的头条新闻。最终他支付了罚金并受到一个缓期判决。

就是在这个时候格洛腾迪克学会了开车。他有部古老的雪铁龙,一个型号为2CV而以非正式地名称deux chavaux闻名的汽车。他的一个学生,Jean Malgoire,现在蒙彼利尔大学的讲师,回忆起一次和格洛腾迪克在倾盆大雨中开车的恐怖经历。除了是一位很蹩脚的司机外,格洛腾迪克更是集中精力向他的乘客论道而不是注意路况。“我确信我们不会活着到目的地的!”Malgoire说道。“我明白亚历山大和现实生活有着一种特殊联系…与其去适应那些实在的东西,他宁可相信现实会去适应他。”一次,在驾驶一辆机动脚踏两用车时,格洛腾迪克和一辆汽车面对面撞上了。根据Ladegaillerie的说法,他将目光从路上转到去从自己背后包里拿杏去了。尽管他一条腿骨折需要手术,他还是要求将针刺麻醉作为唯一的麻醉剂。只是在外科医生告诉他唯一的另一种选择是将断腿锯掉后他才同意使用抗生素。

在蒙彼利尔大学,格洛腾迪克有一个正式的教员职位并且在所有的级别上过课。尽管学生不如他以前在巴黎的学生那么强,他然而在教学上投入了大量的精力、热情和耐心。他有一种非传统式的教学方式。作为一次关于多面体的考试,他让学生提交用纸粘起来的模型,这让那些必须使用考试卷子来评分的人感到非常惊慌。一位曾经在蒙彼利尔上过他的大学课程的人是现在是斯坦福大学统计学家Susan Holmes(福尔摩斯)。“我发现他非常令人鼓舞,因为他对学生既不按传统办事,又很和蔼,他们真的一点也不知道他是一位伟大的数学家,”她回忆道。他穿着嬉皮士式的破烂服装来上课,并在班上分发他自家生产的有机苹果。“他的确没有用大学生适应的线性思维形式来解释问题,但是他的教学非常令人鼓舞,大家会得到某个奇妙而神秘的‘大图像’的印象。”Holmes说。

格洛腾迪克从来不是一个靠阅读来学习和理解数学的人。和别人聊天曾是他了解这个领域正在干什么的主要方式。在IHES时口头交流是他数学交流的主要模式,从那种热烈而富有刺激性的气氛中离去对他而言是个巨大的变化。与他1960年代保持的步伐比较,格洛腾迪克后来的数学工作是零星的。尽管他在蒙彼利尔有一些博士生,他没有建立过象IHES时期那样以他为首的兴旺发达的学派。他巴黎时代一些以前的学生和同事来过蒙彼利尔拜访他。所有来访者中最频繁的是Deligne,在整个1970年代他是让格洛腾迪克知晓最新数学进展的主要人物。

在蒙彼利尔,格洛腾迪克没有一个固定时间碰头的讨论班。他和Ladegaillerie,Malgoire还有其他一些他的学生组成了一个小的学习团体,但根据Ladegailleire的说法这个团体事实上从来没有活动过。在1980年到1981年,他组织了一个关于伽罗瓦群和基本群的关系的讨论班,其唯一的参加者是Malgoire。这个主题正是他1981年完成的1300页的手稿《通过伽罗瓦理论的长征》的主题。格洛腾迪克从来没有发表《长征》,但通过Malgoire的努力,它的一部分在1995年由蒙彼利尔大学出版[Marche]。那里也曾有过一个小型工作讨论班,Ladegaillerie在上面给了几次关于William Thurston在Teichmuller空间上的工作的报告,这激起了格洛腾迪克在这个学科的兴趣。

到1980年代,格洛腾迪克觉得他已经做了他所能做的事来试着激发蒙彼利尔这些不那么热心的学生,于是决定去申请科学研究国家中心(CNRS)的研究员职位。CNRS是一个法国政府机构,雇用数学家和科学家来做研究。CNRS的职位以大学或者研究所作基地,通常都无需教课。在1950年代,他去IHES之前,格洛腾迪克曾经有过CNRS的职位。在1970年代他申请过重新进入CNRS但被拒绝了。那时候,巴黎南大学的Michel Raynaud正在评价申请者的数学家委员会里。Raynaud说CNRS的管理部门很犹豫去将格洛腾迪克招募进来,争辩说不清楚他是否会继续数学研究。委员会不能反驳这个说法,于是申请被拒绝了。

当格洛腾迪克在1984年重新申请CNRS时,他的申请又一次具有争议性。Jean-Pierre Bourguignon,如今IHES的所长,是负责评价数学方面申请者的委员会的主席,其中一位申请者就是格洛腾迪克。根据Bourguignon的说法,在申请所要求的一封手写的信中,格洛腾迪克列举了一些他不会去执行的任务,比如指导学生研究。因为CNRS的合约要求研究人员履行其中某些任务,这封信被CNRS管理部门看作是格洛腾迪克不符合条件的证据。Bourguignon说他试着让格洛腾迪克去修改他的申请使得那些他拒绝执行的任务不要明显地写在那里,但是格洛腾迪克不愿意这样去做。在很多人的大量努力下,格洛腾迪克最终被放到一种叫做position asteriquee(“加星号的职位”)的特殊职位上,这样安排让他和CNRS都能够接受。CNRS实际上并没有雇用他而只是负责给他发薪水,而他仍保持他的大学雇用关系。因此1988年退休前在蒙彼利尔最后几年里,格洛腾迪克不用教课,他呆在大学里的时间也越来越少。

格洛腾迪克1984年CNRS申请的数学部分就是现在著名的手稿《一个纲领的提纲》(Esquisse d’un
Programme)。在其中,他用某种神秘的但然而同时又很敏锐而具有远见的方式,略述了一个他称之为“anabelian代数几何”的新领域。他也思考了一般拓扑的不足而提出了一个以他称做是“驯顺拓扑”的形式出现的更新概念的想法。《提纲》也包括了他的关于dessins d’enfants(“儿童的想法”)的想法,这个想法他最初发展的时候是为了有个简单方式来给学生解释代数几何的一些概念,从那以后它已经激起了大量的研究。格洛腾迪克将他的《提纲》寄给了那些他认为可能会感兴趣的数学家,这个手稿多年里以未出版形式在专家手中传播。
  
巴黎六大的Leila Schneps是在1991年的时候读到《提纲》的。在此之前她是将格洛腾迪克和奠基性著作EGA和SGA等同起来,此时她发现《提纲》却完全不同。“这是数学想象力的狂热表现,”她回忆道:“我太喜欢它了。我被它击倒了,我希望马上在它上面工作。”她成为《提纲》上描述的研究纲领的热情的传道者,而她和其他人已经在其上做了相当大的进展。她说:“其中有些东西初次看上去甚至觉得没有意义,不过等你工作两年后再回去看看,你就会说,‘他知道这’。”她编辑了一本关于dessins d’enfants的书,其于1994年出版,在1995年她和同属巴黎六大的Pierre Lochak一起组织了一个关于《提纲》的会议。《提纲》第一次以印刷形式出现在这次会议论文集上。

除去《提纲》和《长征》外,格洛腾迪克在1980年代至少还写过另外一本数学著作。A la Poursuite des Champs(Pursing Stacks,《探索Stacks》),其长达1500页,开始于给牛津大学的Daniel Quillen的一封信。此书完成于1983年,勾画了格洛腾迪克关于同伦代数、同调代数和topos理论的整合的观点。《探索Stacks》在数学家手中广泛流传但从没有出版过。尽管它的主题是数学,《探索Stacks》的风格和他早先的数学写作风格完全不同。它写得象是数学发现旅程的“日志”,其中包括所有的错误开始、错误转向和突然而来的灵感,这些东西刻划了数学发现的历程但是在写好了的数学著作中经常被省略掉了的。当非数学的事情引起他的注意时,这些事情也成为了“日志”的一部分:比如,《探索Stacks》中就包含一段关于他一个孙子的出生的事。在1990年代,他写作了一本2000页长的名叫Les Derivateurs的关于同伦论基础的数学著作,他在1995年将此书交给Malgoire,现在它可以在网上获得。

当他在蒙彼利尔的时候,格洛腾迪克的不妥协,“反传统”的倾向看上去更明确了。Ladegaillerie的论文完成后,格洛腾迪克给Springer写信建议它发表在其Lecture
Notes系列上。当他收到回信说起这个系列不再发表论文的时候非常的愤怒。不管怎样论文还是提交去发表了,但可想而知它被拒绝了。根据Lagegaillerie的说法,格洛腾迪克给同事写信,计划建立起一个抵制Springer的运动。Ladegallairie决定将论文作为几篇文章而不是作为一个整体发表,其中主要部分发表在Topology上。格洛腾迪克责备他将这个工作分切成可发表的部分。如Ladegaillerie指出,格洛腾迪克试着将他放到他“反对传统的战斗”的盟友名单上去。但是Ladegaillerie抵制了这个尝试,认为这样的战斗不合理也不会被证明是正确的。
  “尽管如此意见不一,我们还继续是朋友,关系时好时坏,”Ladegaillerie说道。关于他和格洛腾迪克一起的工作,Ladegaillerie说,“和一个天才工作真让人入迷。我不喜欢用天才这个词,但对格洛腾迪克而言没有别的可能的词来形容…真的很迷人,但也很令人害怕。因为这个人不是普通人。”在煤油灯下与格洛腾迪克做数学工作直到深夜的记忆,是“我作为数学家的一生最伟大的记忆。”

收获与播种

在《收获与播种》里描述了很多事情,不同的人无疑会在里面看到许多不同的事情:过去发现的历险;对于存在的冥思;对于一个时代一个环境里精神的描绘(或者是对从一个时代到另一个时代的阴险而无情的变化的描绘…);一次侦查(在数学都市的薄弱部位里,有时几乎是侦探形式的而在别的时候则近乎于间谍小说方式的侦查);一次大型的数学漫游(这个会让很多读者感到难以理解…);应用心理学的实用读本(或者,如果你愿意,一本“心理分析小说”类别的书);自身知识的吹捧;“我的自白书”;一本私人日记;发现和创造的心理学;一次控诉(无情的但又是恰如其分的);甚至是和“精英数学世界”的清算(而且没有任何礼物)。——《收获与播种》,第L2页

在1983年6月到1986年2月间,格洛腾迪克写作了《收获与播种:一个数学家过去的回顾和证词》(Recoltes et Semailles: Reflexions et temoignage sur un passé de mathematicien)。 这部著作不是很好归类的。它的题目揭示这是部回忆录,但《收获与播种》包含比一本回忆录更多的东西。更多表现在它不仅包括他生平发生的事件的回忆,而且也包括对那些事件的道德和心理意义深入细致的分析和他用对自己和对世界的观点来调和那些意义的尝试。这些分析导致了他对于发现和创造在数学或者更一般意义上扮演的角色的哲学冥思。同时,《收获与播种》又比一般的回忆录少点东西,这个表现在它没有尝试去系统而全面地记述格洛腾迪克生平发生的事件。他不是为未来的传记作家或者历史学家来写作的,而主要是为了他自己。《收获与播种》是对最靠近他内心的事情的探查。他带给此书如他带给数学一样,是一种求索的好奇心,是一种到事情的最底部去寻求答案的方法。其结果是一部厚重而多层次的著作,它揭示了一个伟大而有时又令人恐怖的头脑在执行试图理解自己和世界的艰巨任务。

不需要多说,《收获与播种》不是容易阅读的,格洛腾迪克给他的读者们设了很多条件。书中很大一部分来自于他的日常感觉,在有些部分很明显他的想法是从一天演化到另一天时才固定下来。因此在一页纸内就可能会有突然的有时候甚至令人不安的情绪和主题的变化。书的组织很复杂。主要的内容分成数字标记的几节,每一节都有一个细心选定的引人注意的标题。在每一节内有到另外一节的交叉引用,还有众多的脚注,它们有一些相当长而且内容丰富,有时候甚至有脚注的脚注。来源范围很广的词汇量对那些母语不是法语的人是个很特别的挑战,同样造成挑战的是他习惯使用口头语,其中某些还很庸俗。自始至终格洛腾迪克写作得很细心、深具洞察力、清楚、带着一种辛辣而吸引人的方式。他常常成功地描绘出那些初看上去难以描述的事务。

《收获与播种》的结构复杂性和它的自发性的一个原因是由于格洛腾迪克写作的时候脑子里没有一个明确的计划。他开始写的时候是作为《探索Stacks》的导论,该书原本是标志着他的认真投入时间和精力研究和出版数学的回归。这个导论计划用来解释他研究中的新精神,它不再是专注于他早期工作中精确而详尽的基础建设,而是将读者带到新数学世界的“发现之旅”。格洛腾迪克预想《收获与播种》作为一个叫做《回顾》的系列里面的第一卷,这个系列将包含他对数学和其他方面事情的看法和回顾。第二卷会是《探索Stacks》,而《通过伽罗瓦理论的长征》和《一个纲领的提纲》也打算包含在这个系列里。

在《收获与播种》的第一部分,这个部分他标题为“满足与复兴”,在此格洛腾迪克对于他工作的数学界做了很多自我反省。在他1948年作为新来者加入数学界时受到的欢迎气氛开始消失了,他说道,由于数学家们开始利用他们的名声来将自己置于优势地位。数学成为获得权力的一种方式,而现在的精英数学家们成了一群自鸣得意、让人害怕的人,他们利用获得的权力来阻碍和鄙视别人,如果这样做符合他们的利益的话。他悔恨地回忆起在几个场合里他自己表现出的狂妄和傲慢的态度,意识到这样的态度已经成长为一种“好玩的”或者竞赛性的研究数学的方式,这种方式已经阻碍他将自己开放给数学对象的美丽的能力。正是在完成“满足与复兴”后,他突然受到“这种关于我全部作品和与此同时我本人被埋葬的阴险现实,其在1984年4月19日突然间以一种不可抗拒的方式并且带着同样的名字‘
葬礼’强加于我”的影响(《收获与播种》,第L8页)。在那一天他开始写作最终作为三部分组成的系列,名字就叫“葬礼”,其长度超过1000页。在其中他强烈攻击了他一些昔日的学生和同事,那些人他认为试图通过盗窃他的思想和不给予他应得的荣誉来将他的工作和他做数学的方式“埋葬”。他也称赞了Zoghman Mebktout的工作,他在1970年代发展了格洛腾迪克的一些想法而他的工作格洛腾迪克认为被不公平地边缘化和忽视了。“葬礼”中提出了六个数学领域,或者叫作“建筑工地”,他说这些当他1970年离开IHES后就被放弃了而他认为他的学生们本应该继续发展的。在“葬礼”这个系列,自始至终,他近距离地分析了他和Deligne的关系,其是所有他的学生中最杰出的而且和他有着最紧密的数学上的密切关系。

“葬礼(II),或言到阴和阳的钥匙”与“葬礼”其他两部分相当不同,它不是那么直接关于对“葬礼”的调查。这个第二部分,格洛腾迪克解释为《收获与播种》中最个人也最深刻的部分,包含了对于很分散的主题,例如创造性、直觉、暴力、冲突等的大范围思考。他使用“阴-阳”辩证法来分析做数学的不同方式,总结说他自己的方式是彻底的“阴”,也就是雌性的。他的这个方式记录在一个特别引人注目的章节,标题为“漫升的海洋…”。他将他研究数学的方式比喻为海:“海洋的前进无声无息,好象什么事情都没有发生,什么都没有被打搅,海水是如此之远人们几乎听不到它。但结果它却包围了最顽固的物体,其渐渐变成了半岛,然后是岛屿,然后是小岛,最终被淹没了,就好象被无边无际伸展的大洋溶解了一样。”(《收获与播种》第553页)。

在“葬礼”里他继续探索了一些在“满足与复兴”里已经建立的主题,即关于数学世界上层存在的竞争性和势利的态度。比如,他解释说他的大部分工作都标记着“服务的态度”:出于对数学界的服务而去写作清楚而又全面的著作使得根本而基础性的思想广泛流传。尽管他坦率承认他的自负有时也导致他精英式态度,他说,但是他从没有忘记自发的服务意识,“对所有和我一起迈入共同历险的人的服务”(《收获与播种》,第630页)。他认为,由于个人强化和排外的精英团体的形成成为现代社会的体制,数学界将服务意识丢失了。

除去“满足与复兴”和组成“葬礼”的三个部分外,《收获与播种》包含两卷引论,以及“到阴和阳的钥匙”的一个附录。大约200份复印件寄给了他的数学同事。尽管格洛腾迪克有意出版,《收获与播种》原本法文版从来就没有出版过,因为里面包含的强烈攻击可能有损名誉。然而,它被广泛流传。其复印件可以在世界各地、特别是法国的数学家的书架上,以及一些大学和数学研究所的图书馆里找到。Rennes大学的Alain Herreman已经采取行动将包含全部法语原文的html文件放在网上,而部分英语、俄语和西班牙语翻译也已经放置在那里[R&S]。《收获与播种》一大部分的日语翻译由通过“生存”组织而认识格洛腾迪克的Yuchi Tsuji完成,并在1990年代由数学出版商Gendaisugakusha出版。根据2001-2004年担任法国数学会(SMF)会长的巴黎六大的Michel Waldschmidt的说法,学会在他担任会长时曾考虑是否出版《收获与播种》。这个问题引起了支持和反对双方强烈的意见,Walschmidt说,最终法国数学会决定不予出版。

很多数学家,特别是一些格洛腾迪克从前的学生,被《收获与播种》里的指责震惊,并觉得很受伤。他们其中一个,巴黎南大学的老耶律曾经和另外一个昔日学生Jean-Louis Verdier谈论他们是否应该试着去和格洛腾迪克讨论这些指责。根据老耶律的话,1989年过世的Verdier觉得格洛腾迪克其时的想法不足以让讨论有个合理基础。但是,老耶律说:“我想,‘格洛腾迪克不可能变成这样。我会试着说服他,我会和他谈谈。或许我和他能够在他的一些正确观点和一些错误观点上达成一致。’最终,我们在一些非本质观点上达成一致,但真正的东西则不了了之,而他仍然确信所有的人都反对他。”

在《收获与播种》中,格洛腾迪克说,自从他在1970年离开数学世界后,他做数学的方式就被蔑视而他开拓的许多道路没有得到拓展。的确那个时代后,代数几何研究开始转向,将那种刻划他工作的高度一般化的方式和研究具体问题结合起来。Deligne对韦依猜想的证明,是1970年代最伟大的发展之一,其很大程度上是格洛腾迪克思想的功劳,但也融入了许多新的思想。伴随D-模理论和Deligne的混合Hodge理论的发展,更大的注意力开始集中在更多的具体问题上,比如代数簇的分类问题和低维代数簇的一些问题。还有,1972年安特卫普会议后,代数几何和表示论的合作开始增加,导致了自守形式理论和Langlands纲领的发展。如老耶律所指出,所有这些发展表明存在一个“相当程度上一般理论和具体例子间的相当自然的平衡,来丰富理论本身。”《收获与播种》也包含了指控说格洛腾迪克的工作不是一直都正确归功的。确实他的工作如此广为人知而且如此根本,很多荣誉不是那么具体地给予了他。“例如,确实所有人都知道他发明了motives,或者l-adic上同调等等,因此没有必要每次使用它们的时候都去引用他的名字,”Jean-Pierre Serre评价说,“他的名字由于这个原因很少被人提到。

但另一方面,众所周知这是归功于他。没有人说它归功于别人。”Serre解释说格洛腾迪克对缺乏足够荣誉的抱怨和他在1960年代的行为形成鲜明对照,在那时他非常大方地分享想法,甚至在某些时候将别人的名字附在他自己提出的想法上。“由于这个原因阅读《收获与播种》真是让人感到悲伤。”

就算承认存在着从格洛腾迪克式数学的转向和荣誉不是总具体的归功与他,从此到他声称发生的有预谋的“埋葬”还是有一个巨大的跳跃。“回过头来看,很少有数学思想曾经如格洛腾迪克的思想一样被广泛使用,”老耶律说道,“所有现在在做代数几何或算术几何的人使用格洛腾迪克的语言、思想、定理等等。他设想自己会被埋葬真是完全荒谬的。”

毫无疑问,在格洛腾迪克1970年中止他的研究生涯时,数学蒙受了巨大的损失。但是数学没有停止;其他人继续工作,追随他们自己的想法和兴趣。在1986年2月,当收到一本《收获与播种》后,Serre给格洛腾迪克写信说:“你很惊讶而且愤怒你从前的学生们没有继续你已经开始而且几乎完成的工作。但你没有问这个最明显的问题,这个所有读者希望你回答的问题:而你呢,为什么你放弃你的问题中提起的那些工作?”

尽管“葬礼”的指责恶名远扬,在《收获与播种》中有着更多的内容。那些曾经读过超过上述部分的人都被著作的美感和洞察力深深感动。格洛腾迪克对数学世界高度竞争的气氛如何导致了创造力的窒息和领域的更新的批评让很多人都认同。在《收获与播种》里,格洛腾迪克将促成创造的脉动诞生的这种天真的、如孩子般的好奇心赋予了最高的价值,他悲痛其被竞争及对权力和威望的渴求而惨遭蹂躏。

“我是相当可能是少数的那些认为《收获与播种》是一部不可思议的文献的人之一,”William Messing说道,“这不是说其中没有什么部分是过分的而且具有可能被认为是偏执狂的一些特征。但是非常令人震惊的是创作了EGA和SGA的人竟然会用这种形式来写作。这种系统而内省的方式是和他研究数学的方式一致的。那些真正读过它的人——和那些只是看了5页负面评价的人对比——更趋向认为它是一部很不寻常的文献。”

轻盈的降落

现在我不再,如我曾经那样,是繁重任务的囚徒,这些任务常常阻止我跳入到数学或者其他方面的未知世界里去。任务的时代对我而言已经结束了。如果说年纪带给我什么的话,那就是轻盈。——《一个纲领的提纲》

“科学职业(特别在数学家之中)的道德规范已经退化到如此地步以至于同事间纯粹或者简单的盗窃(特别是以那些无力保卫自己的人为代价的)几乎成为了一条普适法则而且无论怎样都为大家所容忍,即使在最明目张胆和最不公正的情形。”格洛腾迪克在1988年4月19日给瑞典皇家科学院拒绝接受1988年Crafoord奖的信中如此写道。他同时给皇家科学院寄去了《收获与播种》的引论卷。皇家科学院决定将这个大约20万美元的奖项授予他和Pierre Deligne。格洛腾迪克这封信在1988年5月4日Le Monde(《世界报》)上登出后广为人知。去加入这个接受奖项和荣誉的游戏,格洛腾迪克写道,就意味去合法化“科学世界的一种精神和一种变化,其在我看来非常的不健康,而且谴责它并希望它尽快消失,它是如此的自杀性,既在精神上,也在智力上和物质上。”很明显他的这种情绪和《世界报》许多读者有共鸣。这家报纸一位新闻编辑告诉Jean-Pierre Bourguignon报纸收到的对格洛腾迪克信的反馈比起它之前别的信都要多,而且大部分反馈对一位科学家终于站起来承认科学世界已经变得如此腐败表示支持。关于这封信的新闻出现在其他杂志和报纸上,在数学界它被热烈讨论过。它的一个英语翻译发表在Mathematical Intelligencer上,其中一小部分发表在Notices上。

在回绝Crafoord奖的同一年,他以60岁的年纪从蒙彼利尔大学退休。也是在那一年,6位数学家决定汇集一些文章来作为格洛腾迪克60岁的生日献礼(“Festshrift”)(K-Theory杂志上也有专门一期献给格洛腾迪克)。这个Festschrift看上去是和格洛腾迪克和好的一次尝试,而且用来证明他没有如他在《收获与播种》中声称的那样被“埋葬”。贡献文章的其中一些人是他曾经给予最强烈批评的。当Festschrift在1990年出版后,作为编者之一的老耶律给格洛腾迪克寄去一本,他的反应特别充满怨气。在给老耶律的信中,他强烈反对卷首简短的前言和他没有被早点告知这本书会出版这件事。他说他的工作如同“婚礼上的五彩纸屑”一样被使用,就象那亮亮的不值钱的辅币抛到空中去获得一种欢乐和庆祝的假象,而下面的不快则被忽视了。格洛腾迪克将这封信提交给法国数学会Bulletin发表。当法国数学会告诉他Bulletin只发表数学文章但这封信可以在法国数学会的Gazette上发表后,格洛腾迪克拒绝了。这封信从没有出版过。

他退休后,格洛腾迪克几乎不在蒙彼利尔大学呆,尽管他继续住在那个地区,一个叫Les Aumettes的村庄。在这个时候,Ladegaillerie说,格洛腾迪克似乎经历了很深的精神危机,写一些“使得我们对他的身体状况做最坏担忧”的信。在1987年到1988年期间,格洛腾迪克写作了《梦或者和好上帝对话的要旨》,其中表示他深信上帝的存在而且上帝从人的梦中和人说话。里面也包含了关于格洛腾迪克早期生活的大量材料。《梦的要旨》有大约300页长,并伴随着另外大约500页的笔记。根据Munster大学的Winfred Scharlau在2004年夏天的一次报告,格洛腾迪克将《梦的要旨》包括在他称作《深思》的一个作品集中,其中也包括构成《回顾》的那些材料,以及一本叫《乱伦的赞美》的诗集。这本诗集和《梦的要旨》都没有广泛散发。

格洛腾迪克的许多朋友和同事都知道了他对精神方面的日渐沉迷,当他们收到“一封带来好消息的信”的时候,这封信日期署为1990年1月26日,而他给大约250个人寄了信。信中宣称:“你是一群为数200到300的人中一员,每个人都亲自接触过我,其被上帝赋予了一个伟大的使命:宣布并且准备“新时代”(或者解放时代…)的到来,它将在“真理之日”,1996年10月14日开始。”他说上帝在1986年首次出现在他面前并和他通过梦境来联系。他也描述了遇到一位叫作Flora的神,她传授启示但也残酷考验他的忠诚。尽管信的内容不可理喻,但是它的书写却是完美般的清晰。三个月后格洛腾迪克寄来一个“更正”,宣称他自己不再确信“一封带来好消息的信”中描述的启示的真实性。他写道:“我是众多‘精神’(在他们中间我有限的能力无足轻重)中的一个的神秘举动的受害者,且被他将巨大的力量授予我的身体和心理,这件事情,我不再有最小的怀疑。”这两封信一起揭示了一种内心被深深打搅和备受煎熬的印象。

1990年7月,格洛腾迪克请求Malgoire包管他所有的数学文章,包括书籍、预印本、通信以及处于不同准备阶段的手稿。如Malgoire指出,格洛腾迪克想给自己“减轻”很多东西。他烧了很大一堆材料,大部分是非数学的,其中包括他父母在1930年代的通信。他给Malgoire看一个200升堆满灰烬的汽油桶,并估计说他大概烧了25000页纸。格洛腾迪克也将一些文章和别的东西,包括他母亲死时的面部模型,留给一位叫Yolande Levine的朋友,在过去十年里他们非常亲密。然后他就消失在比利牛斯山中,在完全的孤独中生活。一小部分人知道他在哪里,而他也指示他们不要将大学里送达给他的邮件传给他。Malgoire说即使今天,在格洛腾迪克隐居近15年后,大学里仍然收到大量寄给他的信。在1995年,格洛腾迪克正式将他数学著作的法律权益赠予Malgoire。

在近15年里格洛腾迪克几乎和数学家没有什么联系。在少数几个见到他的人中包括Leila Schneps和Pierre Lochak,他们在1990年代中期见过他。他们告诉了他关于他在《一个纲领的提纲》中勾画的纲领的进展情况,而他很惊讶大家仍然对他的工作感兴趣。他对物理学发生了强烈兴趣但是对那个领域严格性的缺乏表现失望。Lochak和Schneps和他交换了数次信并给他邮寄了几本他要求的物理书。在一封信里他问了一个毫无敌意的简单问题:米是什么?他的信件开始在温暖的友谊和冷淡的怀疑间摇摆,最终他断绝了和他们的所有联系。尽管和格洛腾迪克的友谊不能维持下去,Lochak和Shneps仍然对他和他的工作保持着一种炽热的景仰和深切的依恋。他们一起辛苦地将手写的《通过伽罗瓦理论的长征》的一大部分打成TeX。他们也启动了一个网址,the
Grothendieck Circle,其中包含许多关于格洛腾迪克、他的生平和著作内容丰富的材料[Circle]。
仿佛来自虚空(16,完毕)

跳舞之星

我告诉你们:一个人心中必有混沌,才能诞生跳舞之星。我告诉你们:你们心中也有混沌。——弗里德里希·尼采,《查拉斯图拉如是说》

亚历山大-格洛腾迪克的工作在现代数学上有着深远的影响,从更广范围说,它位列于20世纪人类知识最重要的进展之中。格洛腾迪克的地位可以和,比如说阿尔伯特-爱因斯坦的来相提并论。他俩中每一个都开启了革命性的新观点而改变了探索的领域,而且每一人都寻求现象间最根本的、统一的联系。格洛腾迪克研究数学对象如何相对地互相表现的习性回应着爱因斯坦提倡的相对论观点。格洛腾迪克的工作也和另外一个20世纪的伟大进展,量子力学有着平行联系,在量子力学中,它颠覆了传统概念,将点粒子用“概率云”来代替。“这些‘概率云’,其代替了以前可靠的物质粒子,很奇怪的提醒起我topos居于其上的那个难以描述的‘开邻域’,它好象容易消散的幻影,包围着想象中的‘点’,”他写道(《收获与播种》,第60页)。

然而,不管格洛腾迪克的成就多么杰出,他将自己的创造力归因于一些很卑微的东西:一个孩子的天真而热情的好奇心。“发现是这个孩子的特权,”他在《收获与播种》(第1页)里面写道,“他不会由于老是犯错、看上去象个傻瓜、不认真或者不象别人那样做事情而去害怕。”对于发现和创造的工作,格洛腾迪克将天资和技术能力放在孩子希望明了事务的单纯渴望次要的位置上。这个孩子存在于我们每个人身上,尽管它可能被边缘化、 忽视或者淹没了。“我们每个人都可以重新发现发现和创造究竟是什么,而没有人可以发明它们”(《收获与播种》,第2页)。

这种孩子式的好奇心的一个方面是对于真理的严谨忠诚。格洛腾迪克教给他学生写数学文章时的一条重要戒律:永远不要说错误的东西。几乎或者本质上正确的陈述是不允许的。

说不清楚可以接受,但在给出确切细节的时候,你就必须只说那些正确的东西。的确,格洛腾迪克的一生是对真理的不断追寻。从他的数学著作到《收获与播种》以至于“一封带来好消息的信”,格洛腾迪克都是以如孩子般不可动摇的诚实来写作的。他说真话——他自己的真话,如他所想的那样。甚至当他犯了实际错误或者被错误假定误导时,他也坦率说出他脑中所想。他从没有试着去隐瞒他是谁和他在想些什么。

格洛腾迪克对真理的追寻将他带到数学思想的最根源和人类心理感知的最远端。他有过长长的旅行。“在经历过所有这些的事情后,在比利牛斯山孤独的退休生活里,亚历山大-格洛腾迪克有权去休息了,”Yves Ladegaillerie 写道,“他值得我们的景仰和尊敬,但最重要的,想到我们所亏欠他的,我们应该让他得到安宁。”

一个类型是“某个生成器 F 的不动点”
就意味着它是“所有用 F 构造出来的表达式的集合的封闭包”

这其实是说:
类型是一种由规则定义的结构闭包(closure)

比如说:
自然数:由构造器 zero, succ 构造的最小闭包
语法树、表达式、逻辑公式……很多东西都可以视为这种构造闭包

introduction rule: 定义该类型有哪些构造器(构造元素的方式)
自然数有两个构造器:

Untitled Typst

狄拉克海上的涟漪

我是一个喜欢挥霍时光的人,这是我最爱的科幻短篇。


死亡的阴影象潮水一样,带着冷酷无情的威严缓慢向我袭来,然而我逃跑了,尽管这可能毫无意义。

我离开了,波纹扩散到远处,如同波浪抚平了被人遗忘的旅行者的足迹。

第一次测试我的机器的时候,我们小心地避免任何差错。在没有窗户的实验室里,我们在水泥地上用胶带交叉贴了个X作为标记,在上面放了个闹钟,锁上门离开。一小时后我们回来,移开闹钟放上实验用的机器,在线圈间装了一架超八摄影机。我把摄影机对准X的地方,我辅导的一个研究生设置好机器让它把摄影机送到半小时前,在那待五分钟后,再回来。就在一瞬间,它几乎纹丝不动地消失又出现。我们放映胶片时看到,摄影机拍到钟上显示的时间是我们传送摄影机的半小时以前。我们成功地开启了一扇通往过去的大门。大家纷纷用咖啡和香槟酒来庆祝实验的成功。

现在,我对时间有了更多的了解,也就发现了当时的一个失误:我们没想到在时钟旁边也放一架摄影机,拍下机器到达过去的情形。这对现在的我来说是理所当然,但当时大家却并没有想到。

 

我到达了,无坝海洋中的波纹立时汇聚起来。

这是1965年6月8日,旧金山。和煦的微风轻拂过缀满蒲公英的草地,松软洁白的云彩仿佛是为了愉悦我们而变换出各种奇妙怪异的形状。然而并没有几个人停下来欣赏它们。大家都行色匆匆,心不在焉,以为表现得够忙碌的话,自己就变得很重要了。“

他们这么匆忙。”我问,“为什么不能放松下来,休患一下,享受这美好的一天?”

“他们被时间的假象蒙蔽了。”唐瑟说。他仰面躺着,褐色长发铺散着——在那个年代,只要发长过耳就算是“长发”——正吹出一个肥皂泡。泡泡被微风吹下山,汇入了湍急的人流中。没有人注意到它的出现。“他们深信现在所做的对未来很重要。”肥皂泡撞上一个公文包,“嚷”一下破了。唐瑟又吹了一个肥皂泡。“我和你,我们知道这是个多么虚伪的幻象。没有过去,没有未来,只有现在,永恒的现在。”

他是对的,比他自己认为得还要正确。曾经,我也是那么疲于奔命和自以为是。我也有过才华横溢、野心勃勃的时候。28岁时,我已经创造出世上最伟大的发明。

 

从藏身的地方我看见他从员工电梯出来。他瘦得几乎像是快被饿死的人,穿着无袖白T恤,有着金色鬈发,神色紧张不安。他谨慎地环顾了一下大厅,但并没看到藏在门房里的我。那个男人的两条胳膊下都挟着一个两加仑的汽油罐,手上还各拎着一桶汽油。他放下三个罐,把最后一个罐倒过来,沿着大厅一路浇上气味刺鼻的汽油。他面无表情地干着。当他开始倒第二罐汽油时,我认为是时候了。趁他经过我的藏身处,我冲出来用扳手把他敲昏,然后叫来旅馆的保安。然后我再回到门房,让时间的涟纹聚集。

我来到一间正在燃烧的房间,火舌舔舐着向我袭来,炙热的温度高得让人难以忍受。我喘息着一一又错了——在键盘上按下按键。

 

时间旅行原理及应用注意事项:

  1. 旅行只能前往过去。
  2. 传送对象要回到精确的出发时间和地点。
  3. 把过去的对象传送回现在是不可能的。
  4. 过去的行为不能改变现在。

一次,我试图跳回到一亿年前,到白垩纪去观察恐龙。所有的图片书上描绘的都是大地上遍布恐龙的景色。而我花了三天时间在一个沼泽附近游荡一一穿着崭新的斜纹软呢西装——却连只比矮脚猎犬大点的恐龙都没见到。后来有一只食肉恐龙——我不清楚是哪个品种——像一阵风似的从我眼前一闪而过。真是失望透顶。

我的一位超穷数学教授常常给我们讲一家房间数量无限的旅馆的故事。某天客满的时候,又来了位客人。“没问题。”服务台的接待员说。他把一号房间的客人移到二号房间,二号房间的客人移到三号房间。依此类推。很快,一个空房间腾出来了。

不久,一群无穷多数量的客人来了。“没问题。”服务台的接待员毫无畏惧之感。他把一号房间的客人移到二号房间,二号房间的客人移到四号房间,三号房间的客人移到六号房间,依此类推。很快!有无穷多数量的房间腾空了。

我的时间机器的工作原理就是如此。

 

我再次回到 1965 年,还是那个地方,还是那个出现在我混乱人生轨迹上的陌生人。长年的闲逛我遇到过不少人,但丹尼尔·雷尼·唐瑟是惟一真正有头脑的人。他有一种温柔、轻松的微笑,一把破旧的二手吉他,还有着和我在一百次人生中所学到的一样多的智慧。我们在一起同享乐共患难,不管是暴风雪在头顶劲飞狂舞的严酷冬季,还是在有着湛蓝天空的晴朗夏日。我们曾以为这样的好时光会永远继续下去。我们还在来复枪的枪筒里插上玫瑰花,我们横躺在骚乱中的大街上,却没有受伤,那段时日更美好。每次他去世我都守在他身边,一次、两次,现在已超过了一百次。

他死于 1969 年 2 月 8 日,正是爱像国王般发号施令的大骗子尼克松和他愚蠢的同僚斯皮罗上台的那个月,也是肯特市大骚乱,奥尔塔蒙特音乐会惨剧以及在柬埔寨发生的一场神秘战争的前一年。一桩桩令人沮丧的事件慢慢扼杀了所有的夏日憧憬。他死了,我当时无能为力,即便是现在也如此。上次他要死的时候,我把他拽进医院。虽然他看起来一点事都没有,但我还是不断怒吼、咆哮,终于说服医生给他做检查。经过X光照片,放射线扫描,他们发现了他大脑里的早期肿瘤。医生们给他上了麻醉药,剪掉他漂亮的褐色长发,为他做了手术——切掉病变的血管,割下所有的肿瘤.一点也没留下。手术后等麻醉药效过了,我就坐在病床边握着他的手。他紧抓着我的手,默然无声地凝视着眼前的一片空白,眼睛里一大片紫色的淤点。不管是不是在探望时间,我都不肯离开病房。他只是凝望着,凝望着。在黎明破晓前,天空还一片灰暗时,他轻轻叹了口气,死了。我所有的努力都无济于事。

 

时间旅行必须受两个条件的约束:能量守恒定律和因果关系。在过去出现需要的能量只能借自狄拉克海。另外,因为狄拉克海的波纹以逆时向扩散,所以只能向过去传送。只要传送对象没有延误及时返回,现在的能量是被保存起来的。因果关系的法则保证了过去的行为不能影响现在。比如说,如果你回到过去杀死了你父亲会怎么样?那么现在发明时间机器的又是谁呢?

我曾经企图在我父母相遇之前——我出生前23年——用杀死父亲的方式自杀。当然,什么也没改变,甚至就在我这么干的时候我也知道什么都不会变。但你必须去尝试。否则我还能用什么办法确定呢?

第二次试验,我们试着传送一只老鼠回去。它穿越狄拉克海旅行一趟之后,毫发无损地回来了。然后我们又用一只经过训练的老鼠试验。它是我们从草坪对面的心理实验室借来的.不过我们没告诉他们要用这只老鼠干什么。它曾被训练穿过迷宫找到一片熏肉。实验后,这只老鼠仍和以前一样快速地穿过迷宫。

我们还必须在人身上做实验。我自愿担当实验对象,不理会任何劝说我放弃的声音。用我自身做实验,就可以不受大学关于用人类进行实验的条条框框的束缚。

跳进负能量海洋并不会有什么感觉。不一会儿我就站在了瑞赛尔兹线圈中,我的两个研究生和一个技术员仔细为我做了检查。然后留下我一个人,机器启动,时钟已经向后跳了整整一个小时。我单独待在上了锁的房间里,只有一架摄影机和一只钟和我在一起,那一刻是我一生最激动的时候。

 

我第一次遇见唐瑟是在我极其消极的时候。当时我在伯克利一个叫“雀史亚斯”的酒吧,把自己灌得酩酊大醉。我已经做了那么多努力,在无所不能和绝望间奋力挣扎。那是 1967 年。旧金山当时正处于嬉皮士时代的中期,正是一个不管你的举动有多疯狂都合情合理的时代。

有个女孩,正和一群大学生坐在桌边。我走近那张桌子,不等别人邀请就坐下了。我告诉她,她不存在,她的整个世界也不存在,一切都是因为我看世界是这样的才呈这样的,一旦我停止不看,它就立刻消失在虚无的海洋中。这个叫丽莎的女孩力图驳倒我。她的朋友们厌烦了唇枪舌剑,都先离开了。过了一会儿丽莎才意识到我醉得多厉害。

她付了账单,走出酒吧,消失在雾气弥漫的暗夜里。

我跟着她走了出来。当她发现我在跟踪她的,她抓紧钱包撒腿跑开了。

而他则突然出现在路灯下。一开始我还以为他是个女孩。他蓝色的眼睛清澈明亮,颐滑的褐色长发一直垂到肩膀。他穿着一件刺绣的印第安外套,脖子上挂着块用银子和绿松石镶嵌的徽章,背上还斜背了一把吉他。他很瘦弱,几乎是纤细的,可动作却像个舞蹈演员或是个空手道教练。但这并没使我感到害怕。

他打量着我。“你知道,这样解决不了你的问题。”他说。

我立刻感到了惭愧。我不知道自己脑子里到底想了些什么.又为什么要跟着那女孩。从我第一次逃脱死亡到现在已经有很多年了,我已开始习惯于把周围一切当成幻影,因为我傲什么都影响不了他们。我头晕目眩,站立不稳,靠着墙慢慢坐倒在人行道上。我要做什么来着?

他扶我回到酒吧,给我喝了些橘子汁,让我吃了点脆饼干,然后和我聊天。我告诉了他一切,为什么不呢,反正我可以收回我说的话,取消我做过的事,不是吗?但我并不想那么做。他认真听着,什么也没说。在这之前还没人听过我说这些。我无法解释别人的聆听在我身上产生的效果。这么多年来我孤独一人,现在,要是有那么一会儿——它就像一剂强烈的迷幻剂在我身上发作——要是有那么一会儿,我不再孤独……

后来我们互相搀扶着离开酒吧。走了半个街区,唐瑟停了下来.站在一条漆黑的小巷前。

“这里有些不对劲。”他的声音里充满了疑惑。

我把他拉了回来。“等一下,你别去那里……”他挣脱我的手,走了进去。犹豫片刻,我也跟了进去。

巷子里有股令人作呕的味道,像是馊啤酒混合了垃圾、屎尿和腐烂的呕吐物的腥臭味。不一会儿,我的眼睛适应了巷中的黑暗。

丽莎正蜷缩在几个垃圾箱后面的角落里。她的衣服被刀划破了,支离破碎地散落一地。她的大腿和一条胳膊上流着血,看起来黑糊糊的。她似乎没看见我们。唐瑟靠近她蹲下来,轻柔地说了些什么。她没有反应。他脱下自己的外套裹在她身上,然后用胳膊把她抱起来。

“帮我把她送回我的公寓。”

“公寓?该死,我们应该叫警察!”我说。

“叫那些猪猡?你疯了?你想让他们也强暴她吗?”

我都忘了,这是在六十年代。我们俩架着她进了唐瑟的大众牌小汽车,开往唐瑟在黑什伯里的公寓。在路上他平静地向我解释,告诉了我以前从未见过的爱之夏的黑暗面。都是些骑摩托的街头混混,他说,这些人因为听说嬉皮士在性方面都很开放,所以来到伯克利为所欲为。还好,丽莎的伤口大多都不深。

唐瑟帮她清洗伤口,扶上床,整夜都守候在她身边,说话,哼歌,制造一些能让她平静下来的温柔声音。我睡在客厅里的另一张床垫上。早晨等我醒来,他们都还在床上。丽莎正沉沉地睡着。唐瑟醒着,一直搂着她。我当然明白唐瑟什么也没干,就只是搂着她。可我仍感到一股妒嫉的刺痛,不知道是在羡慕他们中的哪一个。

 

时间旅行的演讲草稿

二十世纪初是个充满天才的时代。他们的成就是无人能匹敌的。爱因斯坦发现了相对论,海森堡和薛定谔提出了量子力学,但还没人知道如何把这两种理论结合在一起。1930年,一个新人解决了这个问题。他叫保罗·狄拉克,28岁。他在别人失败的地方成功了。

他的理论是一个空前的成就,除了一个小细节。根据狄拉克的理论,一个粒子要么有正能量要么有负能量。这意味着什么,一个负能量粒子?一样东西怎么会有负能量?为什么普通的——正能量——粒子没有掉进负能态中,并在这一过程中释放出大量自由能?

你和我或许已经认定了一个普通正能量粒子不可能转换为负能量。但狄拉克不是个普通人。他是个天才,是量伟大的物理学家,他有了答案。

如果全部可能存在的负能态都已被占据,任何一个粒子都不可能进入负能态。啊哈!于是狄拉克就假定整个宇宙完全充满了负能量粒子。它们围绕着我们,穿过我们的身体,在外太空的真空里和地球的中心,每个地方都有它们。一片无限稠密的负能量粒子的海洋。狄拉克海。

他的论点中还提到了海中的空洞,这个待会儿再说。

 

一次我想去观看耶稣受难的史实。我乘喷气式客机从圣克鲁兹到特拉维夫,再乘汽车从特拉维夫到耶路撒冷。在城外的一座山上,我启动机器驶过狄拉克海,来到耶稣的时代。

我是穿着西装到达的。我也没法子,除非我想光着身子旅行。这片土地苍翠肥沃得令人惊讶,比我想像的要好得多。这座山丘现在是一片农田,种满葡萄和橄榄树。我把线圈藏在一块岩石后面,然后上了路。还没走多远,大约才走了五分钟吧,我遇到一群人。他们有着黑色的头发,黑色的皮肤,穿着洁白的束腰外衣。罗马人,犹太人,还是埃及人?我怎么知道?他们和我说话,但我一个字也听不懂。过了一会儿他们中的两个人架着我,第三个则上来搜查。他们是强盗吗?要抢钱,还是罗马人要查看某种身份证件?我意识到自己有多么的幼稚,只是想猜出他们的穿着,好以某种方法和他们打交道……一个人仔细搜索后什么也没找到,就有条不紊地痛打了我一顿,最后把我的脸摁进泥地里。当另外两个人把我放倒,他就抽出一把匕首,砍断了我腿上的肌腱。我猜,他们还算手下留情,没要我的命。他们令人费解地大笑着说了几句话后,离开了。

我的腿废掉了,一条胳膊也断了。我只能用惟一还能动的一条胳膊拖着自己,花了足足四个小时爬回山上。偶尔经过这条路的人故意当作没看见我。我费力挪到藏东西的地方,拿出瑞赛尔兹线圈。把它们缠绕在我身上真是桩极度痛苦的差事,在我要按键盘上的返回键时我正开始陷入昏迷。量终我按下了键。来自狄拉克海的波纹正在聚集,我又回到了我在圣克鲁兹的旅馆房间。横粱烧断后,天花板开始塌陷下来。火灾警报器刺耳地呜叫着,已无路可逃。房间里充满了呛人的浓烟。屏住呼吸,我在键盘上输入了一个代码,到某个时间,任何一个时间,只要不是这一刻。

我还是在旅馆房间里,五天前的旅馆。我猛喘了一口气。床上有个女人尖叫着竭力推开压在她身上的男人。那个男人正忙着控制住她,根本没注意到我。无论如何他们都不是真实的。我没理睬他们,考虑着接下来去哪。回到 1965 年,我想。我按下了按键。

我站在了一幢正在建造中的旅馆三十层楼上的一个空房间里。一轮满月映照出寂静无声的工地上起重机的乾廓。我试着弯了一下腿。疼痛的记忆已经开始消退。这很合理,因为它从未发生过。时间旅行。它并不是永恒,但它是仅次于永恒的量好的事了。

你不能改变过去,不管有多努力。

 

早晨我探究了一下唐瑟的公寓。这是个三楼上的小窝,离那个好像被外星人改造过的黑什伯利有一个街区远。这里真是一片狼藉,公寓的地板上放满了旧床垫,上面乱七八槽地堆着被子、枕头、印第安毛毯,还有毛绒玩具。进去前要脱鞋——唐瑟总是穿着拖鞋,来自墨西哥的皮拖鞋,用旧乾胎上的橡胶做的底。空调已经坏了,喷出的水雾被晨曦染上一层斑驳的色彩。墙上贴着海报:彼得·马克斯的印刷品,艾舍尔色彩鲜艳的版画,艾伦·金斯伯格的诗,唱片封套,和平集会的海报,“黑什伯利就是爱”的标语,从一家邮局撕下的FBI十大被通缉的非法张贴者名单,一些著名的反战分子在蓝色纪念碑下集会的照片,用浓烈的粉红色绘在墙上的巨大和平标志。一些海报被昏暗的光线照亮,显出鬼魅的颜色。空气里有熏香的淡淡气味和大麻的香蕉甜味。墙角的电唱机不停地重复播放着《佩珀军士孤独心灵俱乐部乐队》。不论何时,一旦唱片因为放得太多声音毛糙了,唐瑟朋友中的一个就必定会再拿来一张新的。

他从不锁门。“有人想偷东西,那好,嘿,也许他们比我更需要它,对吧?这很酷。”白天或夜晚任何时候都会有人来他家。

我留长了头发,和唐瑟、丽莎一起度过那个夏天。打闹嬉笑,弹吉他,做爱,写些无聊的诗和更无聊的歌,服用毒品。那个时代用迷幻药麻醉自己让眼前开出一片灿烂向日葵的年代,是人们仍然不惧怕这个陌生而美丽的虚幻世界的年代,是生活的年代。我知道丽莎和唐瑟真心相爱,而我不是,但那些日子自由的爱如辱粟花的香气般在空气中蔓延。一切都没什么关系。总之,无所谓。

 

时间旅行的演讲草稿(继续)

假定所有空间都充满了具有负能量粒子的无限稠密的海洋后,狄拉克深入研究,并提出了新问题,即在正能量的宇宙里的我们是否能够与负能量的海洋结合。如果你给一个电子足够能量让它脱离负能量海,会发生什么?两个后果:首先,你会制造出一个看起来哪儿都不存在的电子;第二,你将在海里留下一个洞。这个洞,狄拉克认为,会表现出像粒子一样的属性,完全符合一个电子的粒子的属性,但有一点不同:它具有完全相反的电荷。如果这个洞遇到一个电子,这个电子将掉回到狄拉竟梅里。洞和电子都会在一次巨大的能量爆炸中湮灭。结果,他们给这个狄拉克海里的洞一个名称:“正电子”。虽然两年后,安德森发现的正电子证明了狄拉克理论的正确性,但人们已经对它失去了兴趣。

此后的五十年,狄拉克海的存在几乎被物理学家们遗忘了。反物质和海中的空洞是这个学说量重要的特征,其余的都是数学上的演算结果。

七十年后,我想起我的超穷数学老师讲过的那个故事,把它与狄拉克理论结合起来。就好像是把一个额外的客人放进一个有无穷多房间的旅馆,我解决了如何从狄拉克海借用能量的问题。或者该这么说:我学会了如何制造波浪。

狄拉克海上的波浪在时间上是回溯着波动的。

 

下一步我们必须做些更大胆的实验。我们要把一个人传送到更远的历史中,获得时间旅行的证据。我们仍害怕在过去引起现在的变化,尽管数学模拟告诉我们现在不会改变。

我们拆下摄影机,仔细选择我们的目的地。

1853年9月,一个叫威廉·哈普兰的旅行者带着家人穿越内华达山脉,到达了加利福尼亚海岸。他的女儿莎拉一直在写旅行日记,她在上面记录了当来到帕克峰顶端,在太阳触到地平线时她第一次看到了遥远的太平洋,”在冰天雪地中一片壮丽的光辉”,她写道。这本日记至今仍保存着。我们很容易就隐藏起来,摄影机藏在他们要经过的路口上方岩石缝隙里。当他们路过时,摄影机拍到了坐在大篷车里的疲惫的旅行者。

第二个目标是1906年的旧金山大地震。在一座将会在地震中保留下来的废弃仓库中——但它并没逃过接下来的大火——我们观察拍搔下周围建筑物轰然坍塌的骇人景象,在马拉的救火车里严阵以待的消防员,以及他们徒劳地试图扑灭上百堆熊熊大火的场面。在火海蔓延到我们的房子之前,我们逃回到现在。

胶片里的镜头真是蔚为壮观。

我们准备向全世界宣布。

一个月后在圣克鲁兹,美国科学促进会将举办一次会议。我打电话给会议主席,骗取了一次讲演的机会,约定作为一位受邀请但还没有公布所完成项目的演讲者当场发表演说。我决定在演讲时放映这些胶片。我们将一夜成名。

 

唐瑟去世的那天我们开了个告别会,只有丽莎、唐瑟和我。他知道他快死了,是我告诉他的,他也相信了。他总是很信任我。我们通宵达旦地玩乐,弹奏唐瑟的二手吉他,用颜料在对方身上画着稀奇古怪的图案,玩一盘似乎永远结束不了的叫刺客专利的棋盘游戏,做了许多无聊的、拙劣的蠢事——只因为这都是最后一次了。凌晨四点,当虚伪的黎明曙光在天空隐现时,我们去了海湾。海滩边很冷,我们相拥着藉以取暖,继续漫步。唐瑟说了最后一件事,他对我们说,不要放弃我们的梦想.要坚持下去。

我们把唐瑟葬在一个福利公墓,是政府花的钱。三天后我和丽莎分开了。

我们时不时还联系一下。七十年代末,丽莎回到校园,先读了MBA,然后是法律。我想不久她就结婚了。一开始我和她还每年圣诞节互相寄贺卡,但后来就失去了她的消息。多年后我收到一封她的来信,她说她现在终于能够原谅我导致了丹尼尔的死。

那是个寒冷多雾的二月天,但我知道我能在1965年找到温暖。波纹汇集起来。

 

来自听众的预期问题:

提问(年迈,臃肿的老教授):我认为你们这个所谓的时间跳跃违反了质量/能量守恒定律的规则。比如说,当一个被传送的对象进入过去,一定数量的物质将在现在消失,这显然是对守恒定律的违背。

回答(我):因为回来也是出发时的准确时间,现在的质量仍然是不变的。

问:很好,但如何解释到达过去时,传送对象的出现使过去的能量增加了?难道这不是违背了守恒定律了吗?

答:并没有违背。传送对象所需的能量来自狄拉克海,关于技术原理我已经在(物理学评论)上的论文中详细说明了。当对象回来时,能量仍回到大海。

问(热情的年轻物理学家):那么在过去所用的时间就不受海森堡的测不准原理的限制了?

答:问得好。回答是肯定的。但因为我们是从无穷多粒子中借用了极小的能量,所以所花在过去的时间可以是任意的多。惟一的限制是你离开过去的时间必须是在你从现在出发的时间之前。

半小时后我将要宣读的论文将使我可以和牛顿、伽利略甚至狄拉克齐名。我正好也是28岁,和发表他的理论时的狄拉克同龄。我将会成为一根引燃整个世界的火柴。我有些紧张,在自己的旅馆房间里练习演讲。我感到口渴,就随手拿起我的一个研究生放在电视机上面的已经没气的可乐,一口喝光了。电视上正在播放晚间新闻,但我没听。

我从没有发表这个演讲。”旅馆着了火;我的死是命中注定的。系好领带,我在镜子前打量自己,然后走到门前。门把手是热的,我打开它,眼前突现一片火海。火焰猛地窜进开着的房门,就像一条横行的巨龙。我踉踉跄跄地退了回去,惊讶地注视着腾起的火焰。

我听到旅馆的某处有人在尖叫,立刻反应过来。我身处第三十层,没有逃生路。我想到了我的机器。于是我匆忙穿过房间,打开箱子,拿出时间机器,迅速熟练地取出瑞赛尔兹线圈,把它们缠绕在我身上。地毯已经烧着了,一片火海挡在我和任何能够逃跑的出口间。我屏住呼吸避免窒息,然后打开键盘键入时间。

我一次次回到这时刻。在我设置好机器按下启动键的时候,空气中早已弥漫着令人窒患的浓烟。原本我有三十秒的生命,但每次回来再重新启动机器到达过去都使我消耗一些时间。不断地跨越现在和过去,我在一点点蚕食掉剩下的时间,现在我只有十秒或更少的时间逃离了。

我在借来的时间里活着。也许我们都是。但我知道何时何地我的债务会到期。

 

唐瑟死于 1969 年 2 月 9 日,那是个阴沉的雾天。早晨,他说自己有些头疼。这很不正常,因为他从来没有头疼过。我们决定在雾里散会儿步。浓雾里的世界很美,就好慷我们是在一个陌生的,混沌没有形状的空间里。我完全忘了他的头疼,直到从公园穿过雾海到达海滩,他倒了下去。在救护车到之前他就死了。死时他的脸上带着神秘的微笑。我永远也理解不了那种微笑。也许他笑是因为疼痛已经过去了。

两天后丽莎自杀了。

 

你们这些普通人啊,都有改变未来的机会。你可以养育孩子,可以写小说,在请愿书上签名,发明新机器,参加鸡尾酒会,竞选总统。你所做的每件事都在影响未来。但不论我怎么做,我都不能。一切都太晚了,无论是对我,还是对未来。我的痕迹已经记录在流动的水波中。没有后果,没有责任。无论我做什么事都没有区别,一点也没有。

当我第一次从火海逃离,进入过去,我尝试了一切办法想改变事实。我阻止纵火犯,我和市长争论,甚至去自己的房间告诉自己别去参加会议。

但时间可不管这些。无论我和政府官员交涉或炸掉旅馆还是做其它什么,一旦到达那个决定性时刻——现在,我的命运,我离开的那一刻——从我所在的时间消失的那一刻,回到旅馆房间,火总是逼得更近。我大约有十秒钟离开。每次我穿越狄拉克海,我在过去所做的一切努力全都化为泡影。有时我假装我对过去做的改变创造了新的未来,虽然我知道这不是事实。当我回到现在,所有的改变都被聚集的波纹化为乌有,就像下课后要擦干净黑板一样。

总有一天我要回去面对我的命运。但现在,我活在过去。我想这是种不错的生活。你会逐渐习惯于自己所做的一切对世界毫无影响。这会给你一种自由的感觉。我到过别人从没去过的地方,看过活着的人从没见过的景象。当然,我已经放弃了物理学。我发现怎么也改变不了圣克鲁兹的那个命中注定的夜晚。也许一些人会继续得到知识带来的快乐。但对于我,辉煌已经过去了。

但也有补偿。无论何时我回到旅馆.一切都不会有变化,除了我的记忆。我还是28岁,还是穿着同样的西装,嘴里还是有变了昧的可乐的涩味。每次我回来,我就要用掉一点时间。终有一天我会没时间离开的。

唐瑟,他将永远不死。我不会让他死的。每到那个二月的一天,他死的那天,我就回到1965年,去6月那美妙的日子。那时他不认识我,他永远不认识我。但我们在山上相遇,就我们这两个什么也不做,只想享受这一天的人相遇。他仰面躺着,慵懒地拨弄着吉他的琴弦,吹着泡泡望着飘着朵朵白云的蓝天。以后我将把他介绍给丽莎。她还不认识我们俩,但这没什么关系。反正我们有很多时间。

“时间,”我躺在山顶的空地对唐瑟说,“有这么多时间。”

“有所有的时间。”他说。

我是一个顽固的人。顽固体现在我很恋物癖。值得一提的是,翻录在一些国家是违法的:比如美国和加拿大。我说的并不是你购买一份影视把它复制下来个人使用不合法。而是你破解加密保护的过程在数字千年版权法案中是不合法的。

不过在中华人民共和国,只要你不传播就是合法的,你可以以任何方式个人破解你购买的任何东西。

虽然我觉得蓝光盘的买家一大半都是恋物癖者。如果一家公司跑路了,你的所有内容库也随之消失了,这也是完全合法的。Funimation。

你心里对的东西和错的东西是什么。

我觉得流媒体是一个很好的尝试。如果你喜欢,你就应该买下来。

在一个资本主义的世界,消费是用脚投票。事实上就是有这么一些奇怪的

合法的事情和对真的没啥关系。虽然不合法的东西基本都不对。

在某种一

令人感到愤怒的是,影视是目前唯一一个没有无DRM的购买平台的领域。游戏我们有GOG,音乐我们有Bandcamp和Qobuz,但影视就是不存在。

说来非常奇怪,尽管我喜欢真正的“拥有”电影,但这并不意味着我恋物。能把你需要的所有东西轻松打包进车里上路我觉得是完美的。而我并不希望还要拖上一整箱的碟片。

家庭销售给了那些冒了风险,无法在传统的电视和。

曾经一部电影只要达到其标准预算的两倍就能盈利。再过去DVD曾经是制片层业务收入的主要来源。

《萤火虫》火线,一整代DVD的买家们塑造了。正式艺术电影的爱好者们养活了Criterion Collection。才能让我们看到那么多艺术电影的受众。

我说实话,如果你真的看很多电影。流媒体能让你先看一会儿觉得它到底怎么样。

流媒体

我爸小时候就在iTunes上买电影。

对于一些专辑,Qobuz的。

对于电影发行已经超过50年的电影,它的修复版是否拥有版权,在国内这是一个有争议的问题。如果你在相关法学期刊上搜,会发现众说纷纭。并且似乎也没有具体的判例。所以你可以倾向于认为这是合法的。

一代你开始翻录蓝光,你下一步要干的事情就是搞一个160TB的磁盘阵列。

安妮·穆尔的生平

这是我最爱的短篇小说,没有之一。


从1943 年到1945 年,安妮·穆尔的父亲在太平洋的一艘医疗船上,为民主而战。就在第二次世界大战结束前不久,就在航行在菲律宾海面上的时候,他的长女苏珊出生了。后来,他回到了芝加哥。1948 年安妮出生。但是,穆尔大夫不喜欢芝加哥。三年后,他和全家去了蒙大拿州的大瀑布城。

安妮是在大瀑布城长大的。童年平静,但也有怪事发生。1958 年,她十岁的时候,看见了现实中的“煤脸”,被土地染黑的面孔(她不加区别就下的定义)。她姐姐有个男朋友,名叫弗莱德,十五岁。一个星期五,弗莱德来到穆尔家,说他父母外出旅行去了。安妮的母亲说,扔下一个男孩(勉强算个少年)一人在家里不妥当。安妮的父亲认为,弗莱德已经是个小伙子了,会照顾好自己的。那天晚上,弗莱德在穆尔家吃的晚饭。后来在门廊跟苏珊和安妮聊到十点钟。走前,他跟穆尔太太道别。那时,穆尔大夫已经上床睡觉了。

第二天,苏珊和安妮坐弗莱德父母的车去公园兜了一圈。据安妮对我说,弗莱德的情绪与前一天夜里的表现大相径庭。一副沉思的样子,除去蹦出一两个单词外,一言不发,看样子是跟苏珊吵架了。有好长一段时间,三人在车里沉默不语,什么事也没做。弗莱德和苏珊坐在前排,安妮在后排。后来,弗莱德提出去他家。苏珊不吭声。于是,弗莱德发动车子。三人在安妮不熟悉的一个贫民区兜圈子,好像弗莱德迷了路,或者是虽然邀请她俩去他家,但是心里并不情愿。安妮记得,途中,苏珊一次也没看弗莱德。她一直望着车窗外面,好像缓缓退后的房屋和街道是惟一可看的画面。弗莱德始终注意前方,也一次没看苏珊。二人始终一言不发,也不看看后排的安妮。但是,安妮(那时还是个小姑娘)捕捉到弗莱德从后视镜快速瞥过她一眼的闪光。

终于到家了。弗莱德和苏珊都没有下车的意思。甚至弗莱德连停车的方式(停在马路牙子上,而不是车库里)都意味着活动的临时性,意味着连续活动中的一个暂停。安妮回忆说,他停车的方式意味着给我俩,同时也让他自己额外有时间想一想。

后来(安妮不记得过了多久),苏珊下了车,吩咐妹妹也下车,拉起妹妹的手,走了,不辞而别。走了几米远之后,安妮回头看看,看见了弗莱德的后脑勺:他还在原地,坐在方向盘前。安妮说,好像还在开车的样子,盯着前方,但也有可能闭着眼睛,或者可能眯缝着,或者可能看着地面,或者可能在哭泣。

她俩是走着回家的。不管妹妹怎么追问,苏珊就是不肯说明她这么做的原因。那天下午,安妮没有在自家花园里见到弗莱德,她并不感到奇怪。在此之前,她也目睹了姐姐和弗莱德吵架的情景,赌气的时间从来不长。但是,那个周六,弗莱德依然没有露面。礼拜天没有。星期一,弗莱德也没去上学,这是苏珊后来说出来的。星期三,警察逮捕了弗莱德,原因是酒后驾车,地点在大瀑布城的下区。经审讯后,警察去弗莱德家,发现了他父母的尸体:母亲在卫生间里,父亲在车库里。父亲的尸体裹了一半毛毯和硬纸板,好像弗莱德准备几天后就去抛尸。

一向沉着、冷静的苏珊,自从这桩凶杀案发生后就精神崩溃了,在后来的几年中常常要去看精神科医生。相反地,虽然这件事也断断续续对安妮后来的生活产生阴影,但她一如既往。眼下,她甚至没有梦见过弗莱德,就算梦见了,她也有所提防:只要一醒来,立刻忘掉了。

到了十七岁,安妮去旧金山读书了。苏珊在两年前就先去学习了,攻读医学,地点在伯克利大学。苏珊与另外两个女大学生合租一个公寓,地点在奥克兰南部,圣莱安德罗附近。她时不时地总给父母写信。安妮来到后,发现姐姐的状况非常可悲。苏珊不念书,白天睡大觉,夜里不知去向,直到天亮才回宿舍。安妮读英语文学,还上印象派绘画的课程。下午,在伯克利一家咖啡馆里打工。最初几天,她就住在姐姐的房间里。本来,她可以这样无限期地住下去。苏珊白天睡觉,而这个时候安妮正在大学里。晚上,姐姐很少回宿舍。安妮甚至没必要另外搭床铺。但是,一个月后,安妮搬到哈吉特大街去了,就在伯克利,距离她打工的咖啡馆很近,这样就见不到姐姐了。但是,她还是经常打电话给姐姐(安妮记得接电话的总是她的室友),想问问她的情况,想把大瀑布城的消息说给她听,想问问她需要什么东西。安妮跟苏珊能说上话的寥寥几次里,姐姐都是醉醺醺的。一天上午,有人告诉安妮:你姐姐已经不住在那里了。安妮连续十五天在整个伯克利寻找姐姐。没有找到。最后,一天夜里,安妮给在大瀑布城的父母打电话。接电话的人竟然是苏珊。安妮大吃一惊。她在某种程度上有上当受骗的感觉。苏珊说,她彻底不读书了,打算在一座安静、整洁的城市重新开始生活。安妮回答说,你无论做什么都会做好的,其实她心里认为,姐姐的状况很糟糕,此前把好端端的时光白白浪费掉了。

不久以后,安妮认识了保罗,是个画家,祖辈是俄国犹太人,无政府主义者。安妮和保罗同居了。保罗有座两层小楼。一层是保罗的画室,里面堆满了永远没完成的大画。二层是客厅兼餐室兼卧室,面积很大,还有一个很小的厨房和卫生间。保罗当然不是她第一个上床的男友,此前她还跟印象派绘画课上一个男生交往过,正是这男生把她介绍给了保尔。此前,在大瀑布城,她还有个男友是篮球运动员,还有个男友是在面包房干活的小伙子。有一段时间,她以为爱上了这个小伙子。他叫雷蒙德,面包房是他父亲的。实际上,雷蒙德的祖辈们都是面包师,可以连续追溯到好几代人。雷蒙德半工半读。但是,他毕业后决定成为全职的面包师。在安妮看来,雷蒙德不是优秀的人,但也不坏。她记得雷蒙德最多的事情,是在那几年里,一说到面包行业、他家族的行业,就露出自豪的神情。那个地区的人们自豪的事情很多,但是不会以当面包师为荣。

安妮和保罗的关系很特别。那时,安妮十七岁,很快要满十八岁了,保罗二十六岁。从一开始,二人就在床上不是很和谐。夏天,保罗常有阳痿的毛病,冬天早泄,秋天和春天又对做爱没兴趣。这是安妮说的。安妮还说,她从来没见过像保罗这样聪明的男人。保罗什么都会,会画画,懂美术史,知道文学和音乐。有时,他简直让人受不了,但是他懂得什么时候能让人受不了,于是,他能关在画室里,在整个让人受不了的时间里画画。等到又成为往常的保罗时,让人喜欢、健谈、热情的时候,他就停笔,走出画室,跟安妮去看电影,或者看戏,或者去听讲座,或者参加诗歌朗诵会,那时伯克利举行这些活动似乎是要培养人们将来以对付关键岁月所需要的精神。起初,二人依靠安妮在咖啡馆赚的钱以及保罗拿到的奖学金生活。但是,有一天,二人决定去墨西哥旅行。安妮辞了工作。

二人到过的地方有:蒂华纳、埃莫西约、瓜伊马斯、古里安干、马萨特兰。到了马萨特兰后,二人停了下来,在海滩附近租了一间小屋。天天上午下海游泳,下午保罗画画,安妮读书,晚上去一家酒吧,那里惟一的美国酒吧,名叫“青蛙”。经常光顾那里的人有加州的游客和大学生,他们在那里一直喝到深夜,和通常可能根本不搭话的人们争论不休。在“青蛙”二人从一个总是身穿白衣的墨西哥瘦小子手里买大麻。有人不让这小子进酒吧,他就把车停在对面的人行道上,在一棵枯树旁边等候买主。枯树那边没有建筑物,一片漆黑,是海滩和海水。

瘦小子名叫鲁本。有时用磁带交换大麻,他就在车里试试磁带的质量。他们很快就成了朋友。一天下午,保罗正在画画的时候,瘦小子来到小屋前,保罗请他摆了个姿势。从此以后,保罗和安妮就再也不用花钱买大麻了。但是,有时瘦小子上午来,直到深夜才离开,这让安妮感到厌烦,因为除去要多做一个人的饭之外,而且按照安妮的说法,这个墨西哥人闯进了他俩设计的天堂般生活中的私密空间。

起初,鲁本只跟保罗说话,好像意识到了他的出现让安妮感到不快。但是,几天过去以后,三人成了好朋友。鲁本能说些英语。安妮和保罗就跟他练习初级西班牙语。一天下午,安妮和鲁本下海游泳的时候,安妮觉得鲁本在水下触摸她的大腿。保罗在海滩上瞅着他俩。鲁本浮出水面后望着她的眼睛,说道:我爱上了你。就在那一天(后来得知),有个常去“青蛙”的小子(此前他们还跟这小子说过几次话)溺水身亡。

不久后,保罗和安妮回到了旧金山。对保罗来说,那是个好时期。他办了两次画展,卖了几幅画,与安妮的关系比从前稳定多了。到了年底,二人去大瀑布城旅游,在安妮父母家过圣诞节。保罗不喜欢安妮的父母,但是与苏珊和睦相处。一天夜里,安妮醒了,发现保罗不在床上。走出卧室去找他,听见厨房里有声音。一下楼,她就听见保罗和苏珊在谈论弗莱德。是保罗在倾听和发问。苏珊在讲述她与弗莱德之间发生的事情:在大瀑布城里的贫民区里乘车兜风。她讲了一遍又一遍,但是变换着讲述的角度。安妮记得,姐姐与保罗之间的谈话让她觉得特别不自然,好像翻来覆去地在讲述电影故事情节,而不是生活中的真事。

第二年,安妮退学了。一心一意给保罗做全职伴侣。为他采购画布、画框、颜料,做饭,洗衣裳,打扫卫生,洗刷盘子,做一切能做的家务事,让保罗有一个利于创作的清静地方。她的性生活不尽如人意。保罗的性功能越来越差。安妮在床上已经毫无感觉了,她甚至以为自己是同性恋。那时,他俩认识了琳达和马尔科。琳达像马萨特兰的那个鲁本,依赖卖毒品过活,有时也写写儿童故事,但从来没有哪家出版社愿意出版。马尔科是诗人,或者至少是,琳达的说法。那个时期,除去偶尔的例外,马尔科整天待在家里听广播或者看电视。通常上午,他上街买三四种报纸,有时去大学里看看,因为那里有老同学,或者听听著名诗人顺访伯克利时的一两堂课。据安妮回忆,马尔科的其余时间都关在家里,如果琳达有客人,他就钻进自己卧室,听广播, 看电视,一心盼望第三次世界大战爆发。

出乎安妮预料,保罗的绘画事业突然停滞不前。一切都来得太快了。先是失去了奖学金,后来是旧金山湾区的画廊老板对他的画作失去了兴趣,最后他放弃了绘画,开始研究文学。通常下午,保罗和安妮要去琳达和马尔科家。在那里,一说起越战和外出旅行来,会花去好几个小时。虽说保罗和马尔科始终没能成为非常要好的朋友,但是二人能在一起长时间互相朗诵诗歌(安妮记得,保罗就是从那个时候开始写诗的,模仿威廉·卡洛斯·威廉斯以及肯尼斯·雷克斯罗斯,二人在帕洛阿尔托听过雷克斯罗斯的诗歌朗诵),喝酒。相反地,安妮和琳达的友谊则不知不觉但牢固地发展着,可是好像没有什么基础。安妮喜欢琳达的自信、独立, 对既定规则的蔑视, 对别的规则的尊重、兼收并蓄的生活方式。

琳达怀孕后,她和马尔科的关系突然结束了。琳达搬到多那孙大街一个公寓去住,直到分娩前的几天(也许是几小时前,安妮记不清楚了)还在干活。马尔科留在老房子里,越发得自闭起来。起初,保罗继续拜访马尔科, 但不久意识到他俩之间无话可说,就不再去看马尔科了。安妮则相反,与琳达越发密切,有时甚至留在琳达那里过夜,通常是周末,帮她照看孩子。琳达必须花更多的时间接待顾客,不可能想跟孩子待多久就多久。

在保罗和安妮第一次去墨西哥之后又过了一年的时候,二人又回到了马萨特兰。这一次的旅行与上次不同。保罗本想还租下海滩的小屋。但是,已经被人捷足先登了。二人只好凑合住进一座平房,距离海滩有三个街区之遥。一到马萨特兰,安妮就病了。腹泻,发烧。三天不能起床。第一天,保罗留在家里照顾安妮。但是,后来一走就是几个小时。有一天夜里,甚至不回家过夜。倒是鲁本来看望她。安妮明白了:保罗夜复一夜地去看鲁本,一开始,她恨这个墨西哥小伙子。但是,到了第三夜,她感觉好一些了。凌晨两点钟,鲁本出现在屋子里。二人一直聊到凌晨五点。后来,上床做爱。安妮仍然感觉体虚,刹那间觉得保罗在虚掩着的门口望着他俩,或者是从窗户外面观察。但是,后来她把一切都给忘记了。她说,面对柔情似水的鲁本和长时间的做爱,忘记了一切。

第二天,保罗露面后,安妮把发生的一切都说给他听了。保罗骂了一声:妈的!没再多说一句。在随后的一两天里,保罗打算在一个黑皮笔记本上写点什么(这个本子从来不让安妮看),但是,他很快就放弃了这个打算,跑到海滩上去喝酒睡觉。有几个夜晚,他跟鲁本出去闲逛,好像什么事情也没发生。有些夜晚,他留在家里,打算跟安妮做爱,结果留下很多遗憾。安妮再次跟鲁本做爱。一天夜里是在海滩上,另外一次是在家里,那时保罗正在客厅的沙发上睡觉。两天后,安妮发觉鲁本开始嫉妒保罗了。鲁本的嫉妒常常发生在三人在一起的时候,或者在安妮和鲁本单独在一起的时候,但从没发生在鲁本和保罗夜里出去逛马萨特兰的酒吧之时。安妮记得,那个时候二人像兄弟。

到了动身回国的日子,安妮决定留在墨西哥。保罗表示理解,什么也没说。分别时很难过。她和鲁本帮助保罗打点行李和装车,二人送给保罗礼物。安妮送的是一本老相册,鲁本送的是一瓶龙舌兰酒。保罗没礼物可送给他们,但是他把剩下的钱分了一半给安妮。后来,只剩下安妮和鲁本了。二人关在小屋里,连续做爱三天。不久,安妮的钱花光了。鲁本再次回“青蛙”酒吧门前贩卖毒品。安妮离开了小屋,搬到鲁本家里去住,那是城里的一个小区,看不见大海。房子是鲁本奶奶的。奶奶跟长子住在一起。长子是单身,四十岁。另外就是她孙子鲁本了。事情很快就变得别扭起来。奶奶不喜欢安妮在家里半裸着走来走去。一天下午,她正在卫生间,鲁本的大伯突然进来,提出要跟她上床,答应给她钱。安妮当然拒绝了,但是不够坚决(她记得是不想让大伯生气)。第二天,大伯再次提出给钱睡觉的要求。

她把发生的一切都告诉了鲁本,没意识到会引起什么连锁反应。当天夜里,鲁本从厨房拿起一把刀,要杀死大伯。安妮记得,他们的喊叫声大得能把左邻右舍都吵醒。但奇怪的是,似乎没人听见。幸亏,大伯力气大,有打斗经验,很快就夺下了那把刀。但是,鲁本不肯罢休,冲着大伯的脑袋砸过去一个花瓶。大伯一闪,躲过了花瓶。恰恰在这个时候,奶奶走出了卧室。她身穿一件大红的睡衣,安妮从来没有见过。糟糕的是,花瓶打在奶奶的胸口。大伯打了鲁本一顿,立刻把母亲送到医院去了。母子俩回来后,鲁本的大伯不敲安妮和鲁本的门就闯了进去,要他俩在两小时内滚出家门。鲁本浑身是伤,几乎动弹不得,可是他实在太怕大伯了,只好在两小时内把行李装进了汽车。

鲁本有亲人在瓜达拉哈拉。他带着安妮去了那里。二人在瓜达拉哈拉最终待了四天。第一天,睡在鲁本姐姐家中。房子很小,孩子多,吵闹得厉害,热得让人受不了。他俩跟三个小孩一个房间。第二天,安妮决定搬到旅馆去住。可是没钱。不过,鲁本还剩下一点大麻以及本打算在瓜达拉哈拉卖的迷幻药。第一次尝试失败了。鲁本不熟悉瓜达拉哈拉,不知道去什么地方摆货,疲倦地回到了旅馆,一分钱也没挣到。那天夜里,二人谈到很晚,出于一时的受挫,鲁本问安妮:要是弄不到房钱和油钱,那该怎么办?安妮说(显然是开玩笑):她可以卖身。鲁本没理解成玩笑,给了她一个嘴巴。这是她第一次挨男人打。鲁本说:那我宁可抢银行。说罢,把她扑倒在床上。安妮记得,那是她一辈子最奇怪的性爱之一。旅馆的墙壁好像是肉做的。是准备烧烤的牛肉,无一例外。她一面做爱,一面望着墙壁,看见了有些东西在活动,它们在不规则的墙壁上跑来跑去,好像约翰·卡朋特的恐怖片,其实我一点也不记得那些片子的情节了。

第二天鲁本卖掉了剩下的大麻。二人去了墨西哥城。他俩住在鲁本母亲家中,地点在维亚镇的居民区里,距离我那时住的地方不远。很久以后,我对安妮说:要是那个时候我见到了你,肯定会爱上你的。安妮说:天晓得。她又说:要是那时候我是个男孩子,我也不会爱上自己。

有一段时间,大概两三个月吧,安妮以为自己爱上了鲁本,准备跟他永远住在墨西哥。但是,一天,她给父母打电话要钱买机票,跟鲁本说了一声“永别了”,就回旧金山去了。她在找到做服务员的工作之前,一直住在琳达的公寓里。有时,安妮下班回来的时候,琳达还没睡,二人就聊天,一直谈得很晚。有些晚上,二人说起了保罗和马尔科。保罗独自生活,已经重新拿起了画笔,但是时间比从前少了许多,对展览自己的作品丝毫不抱希望。据琳达说,问题在于保罗的画很糟糕。马尔科仍然关在家里,整天听广播,看所有的电视新闻节目,几乎不和朋友往来。安妮记得,过了几年后,马尔科出版了一本诗集,在伯克利的大学生里获得成功,举行了几场朗诵会,参加了几次讲座。如果那个时候他认识什么女孩并且同居,倒是合适。可是传言过后,马尔科仍然关在自己家里,后来就没有他的消息了。

后来,琳达跟一个名叫拉里的家伙同居了。安妮就在咖啡馆附近租了一个小房间,地点在伯克利。表面上,事情正常,其实安妮明白自己要崩溃了。梦里她能感觉到,梦境越来越奇怪,感觉到自己的精神状态,越来越忧伤,情绪在变化,越来越任性。那些日子,她跟两个男人交往,但经历都令人沮丧。有时,她去看看保罗,但是很快就不去了,因为开头还好,但最后总是以粗暴的场面结束(保罗撕画),或者嚎啕大哭,自责,难过。有时,她也想念鲁本,嘲笑自己以前怎么那么天真。一天,她认识了一个名叫查尔斯的男人。二人成了情侣。

安妮记得,查尔斯与保罗完全不同,尽管本质上一模一样。查尔斯是黑人,没有任何收入。喜欢聊天,善于倾听。有时,二人彻夜做爱,聊天。查尔斯喜欢说自己的童年和青春期,似乎他领会到了过去曾经忽略的秘密。安妮则相反,喜欢说说此时此刻生活里正在发生的事情。她还想说说心中的担忧、说不定哪一天就会爆发的危机。安妮记得,像往常一样,床上的关系总是不如意。开头几天,可能是新鲜吧,感觉还算愉快,有一天夜里,甚至觉得销魂,但是后来的一切就变成老样子了。事情到了这个地步,安妮犯了一个极大的错误(从某种角度说)。她把现在床上的事情、从前跟男人睡觉的感觉,统统说给查尔斯听。起初,查尔斯不知说什么才好,但几天后,他建议,既然已经没什么感觉了,那至少可以从眼下的情况捞点物质好处。安妮几天后才明白查尔斯是在暗示她去卖淫。

她可能在那个时候还喜欢他,接受了建议。或者因为她觉得试一试会很刺激。或者因为她估计卖淫可能加快危机的爆发。查尔斯给她买了一条红裙子和一双红色高跟鞋,给自己买了一把她可能在那个时候还喜欢他,接受了建议。或者因为她觉得试一试会很刺激。或者因为她估计卖淫可能加快危机的爆发。查尔斯给她买了一条红裙子和一双红色高跟鞋,给自己买了一把手枪。他对安妮说,他认为,拉皮条的没枪是不行的。二人准备开车从伯克利前往旧金山的时候,安妮拉开车里的小物箱找什么东西,大概是香烟吧,看见了那把枪,吓了一跳。查尔斯安慰她说:用不着害怕,手枪是用来给她和他保命的。后来,查尔斯指给她看应该把嫖客带进去的旅馆。接着,在那个小区里带着她兜了两圈,然后把她放到男人经常寻找女人的酒吧门口。他走了,可能是去另外一家酒吧,找他的朋友们开心去了,但他对安妮说:他会随时在暗中保护她。

安妮记得,一走进酒吧,一在柜台前坐下来,她就感觉到前所未有的羞愧,因为她知道,自己在钓第一个客人,明白酒吧里所有的人都知道她要干什么。她恨那条红裙子,恨那双红色高跟鞋,恨查尔斯的手枪,恨即将爆发,但迟迟不来的危机。但她有足够的力气要一杯双料马提尼酒,有足够的勇气开口跟酒保说话。二人说起了厌倦、无聊的情绪。这个问题,酒保好像知之甚多。不久,加入谈话的有一个五十岁的男人,很像她父亲,就是个子矮一些,胖一些,安妮不记得他的名字,也许始终就不知道,但是就管他叫杰克吧。杰克付了安妮的酒钱,然后邀请她出去。正当安妮要从吧椅上下来,酒保过来,告诉她有重要的事情要说。安妮以为他关于厌倦的情绪想起了什么悄悄话要说。果然,酒保从柜台里面探出身子,在她耳边说:永远也别踏进这家酒吧的门。当他回到柜台里面以后,他和安妮对视了一下。接着,安妮说:行。就走了。那个像她父亲的男人在外面的人行道上等着她。二人坐着男人的车前往查尔斯事先指过的那家旅馆。短短的途中,安妮不停地望着街道,好像一个游客。她不抱什么希望,等着看到某处能有查尔斯的身影。但是,无论门口还是巷口都没看见查尔斯。于是,安妮估计查尔斯大概还待在某家酒吧。

与那个像她父亲的男人的做爱时间很短,让安妮惊喜的是,那人还挺温柔。那人走后,安妮搭上一辆出租车,回家去了。当天夜里,她对查尔斯说,一切都结束了,她再也不想见到他了。安妮记得,那时查尔斯很年轻,从表面上来看,他最大的愿望是有个妓女。他虽然要哭,可态度还好。过了一段时间,安妮在伯克利一家咖啡馆上夜班的时候,再次见到了他。他跟一些朋友在一起,他们都笑她。这让安妮很恼火,生气的程度远远超过了前几次吵架。查尔斯穿着低档的衣服,看来很有可能没有继续干拉皮条的勾当,但安妮宁可不打听。

安妮记得,接下来的几年里,她忙得不可开交。有一段时间,她跟几位朋友住在马尔蒂斯湖畔的一座小木屋里,重新与保罗同居,在大学里上了一门文学创作课。有时,给大瀑布城的父母打电话。有时,她父母也来旧金山,和她在一起过上几天。苏珊已经跟一位药剂师结了婚,住在西雅图。保罗在卖电脑。有时,安妮问他:为什么不重新开始画画呢?保罗不肯回答。她还出国旅游几次。有两次到了墨西哥。一次,她开了旅行车和几个朋友到了危地马拉,警察拘留了她二十四小时。有一个朋友挨了打。五次去加拿大的温哥华地区,住在一位女友家,她像琳达一样也写儿童故事,希望远离尘世。但是,她最终还是回旧金山。在那里,她认识了托尼。

托尼是韩国人。在一家制衣公司工作。里面的多数工人是非法移民。托尼是保罗朋友的朋友,或者是琳达朋友的朋友,或者是伯克利那家咖啡馆同事的朋友。安妮记不清楚了。她只记得二人一见钟情。托尼很温柔,很真诚,是安妮认识的第一个真诚的男人,他实在太真诚了,刚一走出电影院(是看安东尼奥尼的电影,是第一次在一起看电影),就大大方方、毫不尴尬地说,电影太无聊了。他至今还是处男。但是,二人第一次上床的时候,托尼的表现让她大喜过望,赛过此前她认识的所有情人。

不久,二人就结婚了。此前,安妮一直没考虑过结婚。但是,她结婚了,为的是托尼在美国的身份可以合法化。可二人的婚礼不是在加州举行的,而是动身去了台湾,因为托尼在台湾有亲戚。婚礼是在台湾举行的。后来,托尼回韩国探亲。安妮去菲律宾看望一个大学时的同学,后者几年前定居在马尼拉,跟一位菲律宾大律师结了婚。托尼和安妮再回到美国时,定居在西雅图,因为托尼在那儿有亲戚,托尼用自己和安妮的储蓄,加上父母给的钱,开了一家水果店。

安妮记得,与托尼在一起如同生活在风平浪静的海湾。外面的世界,天天有暴风雨,人们生活在时时会发生亲历地震的担心中,大家都在谈论集体宣泄情绪。而她和托尼一头扎进平静的洞穴里。安妮说,平静是短暂的,但是可能的。

一件怪事是:托尼喜欢看色情电影,常常带安妮一起去看。此前,她当然没想进这种影院看这种电影。色情影片里,让她难以接受的是,为什么男人总是射在女人的胸上、屁股或者脸上。开头几次,她走进这种影院感到很难堪。托尼似乎没有这种感觉;他认为,既然这种影片是合法的,你就用不着感到难堪。到了最后,安妮拒绝陪他去看这种电影了。托尼自己照看不误。另外一件怪事:托尼特别勤劳,比安妮从前认识的任何一位男友都勤奋。还有一件事:托尼从来不生气,从来不吵架,似乎认为极力让别人赞成自己的观点是无用的,似乎认为众人皆迷失了方向,一个迷路的人还给别人指路,实在是太自以为是。而且那条路不仅没人认识,更可能根本就不存在。

一天,安妮不再爱托尼了。她离开了西雅图。她回了一趟旧金山,又跟保罗上床了,又跟别的男人睡觉了。还在琳达家里住了一段时间。托尼急得要命。每天夜里给她打电话,想知道她为什么要抛弃他。每天夜里,安妮都给他解释原因。事情就这样发生了,仅此而已,爱情结束了,也许让他和她结合在一起的根本不是什么爱情,而是别的什么。托尼在几个月的时间里,不断地给安妮打电话,问她到底为什么离婚。有一次,托尼的姐姐给安妮打了电话。安妮记得,他姐姐态度非常谦卑地恳求她:再给她弟弟一次机会吧。托尼的姐姐告诉她,已经给她大瀑布城的父母打过电话了,说不知道还有没有别的办法可行。听了这个消息,安妮惊呆了,但是觉得此人太热情了。最后,托尼的姐姐哭了,为深夜打电话道歉,然后就挂了电话。

托尼两次去旧金山,打算劝说安妮回家。电话已经打了无数次了。到了最后,似乎托尼接受了这个不可避免的事实。但是,他继续打电话给她。他喜欢说他们的那次台湾之行,说他们的婚姻,说二人看见的事情。他问安妮菲律宾怎么样,然后他再给她讲讲韩国的事情。有时,他后悔没有陪同安妮一道去菲律宾。安妮不得不提醒他,那是她自己乐意的事。安妮问到他水果店,问生意怎么样,托尼三言两语作了回答,迅速转移话题。一天夜里,托尼的姐姐再次给她打电话。起初,安妮只听到一阵低语,于是请求对方声音大一点。托尼姐姐提高了嗓门,但是不大,说托尼上午自杀了。接着,她问安妮(声音里听不出来丝毫怨恨的意思),是否打算参加葬礼。安妮说:参加。第二天上午,安妮没坐去西雅图的那班飞机,而是上了一架飞往墨西哥的飞机。几小时后,她到了墨西哥城。时年二十二岁。

在安妮到达墨西哥城的那段日子里,我得以再次见到她并爱上了她。但是,安妮怀疑此事。她回忆说,那些日子不像真的,好像生活在梦里,但实际上,她利用全部时间观光,就是说,参观首都的所有博物馆、几乎所有的哥伦布来到新大陆前的遗址(至今依然坚持屹立在楼群和车流两侧)。她打算去找鲁本。但是没找到。两个月后,她搭乘一班飞往西雅图的飞机,去给托尼扫墓。到了墓地,她险些晕倒。

在随后的几年里,时间过得飞快。经历了太多的男人,从事了太多的工作,一切都太多太多。一天夜里,她正在咖啡馆工作的时候,与拉尔夫和比尔兄弟交上了朋友。当天夜里,她与兄弟二人上床。但是,与拉尔夫做爱时,她看着比尔的眼睛,而与比尔做爱时,她闭上眼睛,但仍然看得到比尔的眼睛。次日晚上,比尔出现在咖啡馆,但是独自一人。当天夜里,二人上床,但不仅做爱,更多的是聊天。比尔是建筑工人,看待世界有勇气,也有悲伤,其方式差不多与安妮一样。二人都是家里最小的孩子,都出生在1948 年,甚至长得有点像。没过一个月,二人就决定同居。那时,安妮收到苏珊一封信:她已经离婚,正在接受戒酒治疗。信中说,她每周一次(有时更多)参加匿名戒酒会。这为她打开了一个新世界。安妮用一张旧金山的风景明信片回了信,说了一些实际上并没有感觉到的事情。但是,一写完明信片,她想起了比尔,想起了她自己,觉得她终于找到了生活里的什么东西,她自己的匿名戒酒会,找到了她可以抓住的结实东西,找到了她可以锻炼身体、施展才华的高枝。

在与比尔的关系里,惟一让她感到不快的就是拉尔夫。有时已经半夜了,拉尔夫会来,酩酊大醉,把比尔从床上拉起来,说些奇怪的事情。二人说起北达科他的某村庄,那是他俩少年时去过的地方。二人说起死亡,说起死后有什么。拉尔夫说,死后一片虚无;比尔说,连虚无也没有。二人说起男人的一生,就是念书,工作和等死。有时候(这种情况后来逐渐减少),安妮参加谈话,她不得不承认,拉尔夫在发现别人话中的弱点时表现得聪明或者机敏,这让她高兴。但是一天夜里,拉尔夫要跟她睡觉,从此二人的关系就变得疏远了,后来拉尔夫就不再来她家了。

安妮和比尔同居六个月后,搬到西雅图去了。安妮在一个家电经销公司找到了工作;比尔在一处正在兴建的三十层大楼工地上找到了工作。二人的经济状况明显好了起来。比尔建议买房,在西雅图定居。但安妮则希望买房的事以后再说。于是,二人在一座楼房里租下一个单元聊以自慰,楼房里只住了三户,共享一座漂亮的花园。安妮记得,花园里种着一棵橡树、一棵欧洲山毛榉,楼房的墙壁上爬满了蔓生植物。

安妮记得,那几年是她在美国度过的最平静的岁月。但是,有一天,她病倒了。医生们诊断说:病情严重。

那些日子,她情绪变得易怒,忍受不了比尔说话,不愿意见他的朋友们,甚至不愿意看见他每天回家的样子:身穿工地上那套衣服。甚至也受不了自己的工作。于是,有一天,她辞了工作,把几件衣服放进行李箱,去了西雅图机场,但是还没决定去哪里。在某种程度上,她想回大瀑布城,回老家,跟当医生的父亲谈谈,父亲肯定会给她一些建议的。但是,真的到了机场,她觉得一切都没有意义。在西雅图机场的五个小时里,她坐在那里思考自己的生活和疾病,二者都很空虚,像构思巧妙的恐怖片,那种电影一开始并不可怕,但是最后总是把人吓得叫出来,还得闭上眼睛。她很想哭,但是哭不出来。她掉头,回西雅图的家去了。她等着比尔下班。比尔一进门,她就把那天发生的一切说了,请他发表意见。比尔说:一头雾水,但是他会支持她的。

但是,一周后,事情再次发生变化。她和比尔都喝醉了。二人争吵,做爱,开车去陌生的居民区兜风,但是安妮对那些地方有些模糊的记忆。安妮记得,那天夜里,有好几次可能会出车祸。在接下来的几天里,事情越来越糟糕。几个月后,安妮做了手术,但是没有最后的结果。病情暂时抑制住了。但是,安妮必须坚持吃药,经常接受医生的检查。据安妮说,如果复发,可能致命。

关于那几个月,值得记下来的事寥寥。安妮和比尔去大瀑布城过了圣诞节。苏珊再度酗酒。琳达继续在旧金山贩毒,她经济情况良好,感情生活不稳定。保罗买了一套房子,但是不久又卖了。有时,尤其是晚上,安妮和保罗互通电话,说起话来,冷冰冰,形同路人,按照安妮的说法,话题绝对不重要。一天夜里,安妮和比尔做爱时,比尔建议要个儿子。安妮的回答简短而平静,就是一个字:不!因为她太年轻。但是,她内心觉得要喊叫出来,就是说,感觉到给她看到了喊与不喊之间的分界线。安妮记得,她觉得自己好像在地球最大的洞穴里睁开了眼睛。那几天,她旧病复发。医生们决定再次做手术。她情绪低落。比尔也是。有几天,二人的样子好像机器人。安妮惟一喜欢做的事情就是看书,读一切落到手里的书,尤其喜欢看美国的散文和小说,但是也看诗和史书。夜里,她难以成眠,常常睁着眼睛一直到早上五六点钟。一旦入睡,也是在沙发上,不能进卧室跟比尔上床。安妮记得,不是她拒绝做爱,更不是她厌恶做爱,有时也进卧室,留在那里看看睡梦中的比尔。但是不能睡在他身边,因为找不到安宁。

第二次手术后,安妮再次把衣服和书放进两个行李箱中。这一回,真的离开西雅图了。先到了旧金山,接着坐飞机去了欧洲。

她到达西班牙时,口袋里的钱刚好够两周的生活费。在马德里待了三天。接着来到巴塞罗那。在巴塞罗那,她手里有保罗一个朋友的住址。但是,电话打过去没人接。她等了一周的时间,天天打电话给保罗那位朋友,上午打,下午打,晚上打。还长时间漫步在城市街头,总是独自一人,或者坐在城市公园的长凳上。她住在兰博拉步行街的一家小旅馆里。吃饭时,去老城区一家便宜餐馆。失眠的毛病不知不觉就消失了。一天下午,她给比尔打电话(对方付费)。人不在。后来,打电话给父母,也不在。走出电话局,在市内电话亭里再次打给保罗的朋友。没人接听。一瞬间,脑海里闪过一个念头:她已经死了。但是,她立刻就否定了这个想法。孤独是一回事,死亡与孤独迥然不同。安妮记得,那天夜里,她努力要阅读一本关于薇拉·凯瑟生平的书,那是旅行前琳达送给她的。但是,睡意战胜了她。

第二天,她给保罗打电话(让对方付费)。保罗在。她把联系不上保罗那位在巴塞罗那朋友的事情说了。但是,没提自己的经济状况。保罗想了一会儿,后来想出一个主意来:让她给一个熟人(这个说法有些夸张)打电话。这位朋友住在马略卡岛,但是在赫罗纳有一套房子。她名叫格洛丽亚,过了四十岁才开始学音乐,如今在帕尔马交响乐团之类的地方演奏。保罗说,很有可能你找不到她,或者至少安妮记得的意思是如此。后来,她给在大瀑布城的苏珊打电话,求她寄钱到巴塞罗那来。苏珊答应当天就办。她的声音听起来怪怪的,好像电话铃响时,她在睡觉,或者是喝醉了。这后一种可能性吓了安妮一跳,因为苏珊有可能会忘记寄钱的事情。

那天夜里,安妮从步行街的电话亭里给格洛丽亚打了两次电话。第二次打通了。安妮讲了自己的处境。二人谈了十五分钟。最后,格洛丽亚告诉她,可以住到她在维拉德穆尔斯的那套房子里。维拉德穆尔斯是班有莱斯附近的一个小村,著名的班有莱斯湖就在那里。不必担心房租,等你有了工作以后再支付好了。安妮问她,如何进家门。格洛丽亚回答说,那里还住着另外两个美国人呢。估计你到了那里以后,其中一个会在家里。安妮记得,格洛丽亚的声音不热情,不做作,有一点新英格兰口音,但她立刻猜出对方不是新英格兰人。那声音不偏不倚,很像琳达(鼻音没有琳达重),是那种特立独行的女子声音。这个形象与西部片一致,尽管那里有少数女人是特立独行的,但这是安妮运用的形象。

于是,安妮在巴塞罗那又等了两天,直到收到苏珊寄来的钞票为止。她交付了小旅馆的房钱,前往维拉德穆尔斯。那个小村冬天的住户不超过五十人,夏天二百多人。正如格洛丽亚所说,有个美国人正在家里等她。那人叫丹。他在巴塞罗那教英语,但是每个周末都返回维拉德穆尔斯,正在写侦探小说。那个冬天,安妮除去上巴塞罗那看医生,没有离开过小村。周五晚上,丹就回来了。另外一个名叫克里斯蒂娜的美国女人也回来了。很少有别的人来这里。即使来人,多数也是美国人。一般情况下,丹和克里斯蒂娜来这里是为了清静。丹是带着书稿的,克里斯蒂娜带着手上的毛活。从周一到周五,安妮写信,看书(格洛丽亚的书房里有大量英文书),打扫卫生,或者修理老房子需要经常修理的一切。春天开始后,克里斯蒂娜在赫罗纳语言学校为她找到一份教书的工作,开头几天,安妮本来和一个英国女人及一个美国女人同住,但是后来有了稳定的收入,便决定在赫罗纳租一套房子。但是,周末她还是回到维拉德穆尔斯。

那个时期,比尔曾经来看望过安妮。那是比尔第一次出国。他用一个月的时间游览欧洲。他不喜欢欧洲。安妮记得,他也不喜欢维拉德穆尔斯的氛围,尽管丹和克里斯蒂娜平易近人,实际上,丹很像比尔。丹也曾经在建筑行工作过,也有类似比尔的经历,自认为是条硬汉子(毫无根据)。但是,比尔不喜欢丹。可能丹也不喜欢比尔,尽管他没有表示出来。安妮记得,她和比尔的重逢美好又凄凉。她又说,“美好又凄凉”这五个字几乎不能给这难以下定义的事下定义。就是在那些日子里,我第一次见到了安妮。那时,我在赫罗纳林荫道的一家咖啡馆里,就是拉阿尔喀达咖啡馆。我看见比尔进来了,接着看见了安妮。比尔高大,皮肤黝黑,头发全白。安妮瘦高,颧骨突出,头发栗色,很直。二人在柜台前坐下来。我的视线很难离开他俩。好久没见过如此漂亮的一对男女了。二人非常自信。非常傲慢和令人不安。我想,整个咖啡馆都似乎应该给他俩下跪才成。

不久,我再次见到了比尔。那时,他正走在赫罗纳一条街上,当然已经不再显得那么漂亮。更像是在做梦,好像有急事。几天后,我正在从家里(位于采石厂大街)出来,看见了安妮。我下坡,她上坡。我俩互相看了对方一眼。安妮记得,那个时候她已经离开了语言学校,当私人英语老师,收入颇丰。比尔已经走了。她住在奇想咖啡馆对面,对面还有歌剧电影院,位于赫罗纳老城区。

我认为就是从那时候开始,我和安妮经常见面。虽说此前没说过话,但是互相认识。我估计,如同小城市居民的习惯,在某个时刻,我俩互相打了招呼。

一天上午,我正在步行街跟赫罗纳一位老画家(名叫贝普·克罗梅尔)聊天,安妮停下来,第一次跟我说话。我不记得我和她都说了什么,大概是姓名国籍之类,最后,我邀请她晚上来我家共进晚餐。那是圣诞节,也许差几天,我准备了比萨饼,买了一瓶葡萄酒。我俩聊得很晚。就是在那一次,安妮告诉我她多次到过墨西哥。总的来看,她的冒险经历与我极相似。安妮认为,一种生活,或者一种青春生活,总是与另外一种相似,尽管客观上有所不同,甚至对立。我则认为,我和她在某种程度上走过了同样的道路,经历了同样的战争、冲突,接受了同样的情感教育。到了凌晨五点钟,也许更晚些,我俩上床,做爱。

突然之间,安妮就变成了我生活中的重要部分。在开头的两周里,性爱是个托辞,后来我明白了:超越我俩性爱之上的是友谊在互相吸引对方。那个时候,我经常晚上八点去她家,那时她已经下了最后一节课,我俩一直聊到深夜一两点钟。其间,她准备一些点心,打开一瓶葡萄酒,听听音乐,或者下楼去奇想咖啡馆喝酒,聊天。在这家咖啡馆门口常常聚集着赫罗纳很多瘾君子,而且看见本地一些坏小子在周围转悠也并非怪事。但是,安妮常常回想起旧金山的坏人,真正的坏蛋。我常常回想起墨西哥的坏人。于是,我俩哈哈大笑,但说真的,至今不知道在笑什么,也许因为庆幸自己还活着吧,仅此而已。凌晨两点,我俩分手。我回采石厂大街高地的住处。

有一次,我陪安妮去巴塞罗那德赛乌丝诊所看医生。那段时间,我常常跟另外一个女孩交往。安妮跟赫罗纳的建筑师走动。一走进候诊室,安妮轻声对我说,他们可能把你当成我丈夫了。这话听起来并不奇怪(让我高兴)。有一次,我俩一起去维拉德穆尔斯。安妮希望我认识一下格洛丽亚。但是,那个周末格洛丽亚没露面。但是,在维拉德穆尔斯,我发现了此前一直仅仅是怀疑的事:安妮可能与众不同,也可能是另外一种人。那是一个非常糟糕的周末。安妮不停地喝酒。丹不加解释地进进出出他的房间(他正在写作)。而我则不得不忍受着克里斯蒂娜或者丹从前的一个女学生的存在——巴塞罗那或者赫罗纳典型的白痴,比美国人还美国人。

第二年,安妮去了美国。她要去大瀑布城看父母和姐姐,然后打算去西雅图看比尔。我收到一张来自纽约的明信片。后来,又收到一张来自蒙大拿的明信片。但是,没有西雅图的。后来,收到一封来自旧金山的信,她告诉我,在西雅图与比尔的会面糟透了。我想像着她在琳达或者保罗的住处写这封信的样子:喝着酒,也许还哭着,虽说安妮不常哭泣。

等安妮再回西班牙的时候,她带回来几件美国的东西。一天下午,她让我看看那些东西:是日记,她从到旧金山不久开始写起,直到第一次与比尔和拉尔夫见面不久之后为止。一共三十四本,每本不到一百页,两面都写,字体很小,写得很快;里面不乏图画、设计图(我第一次看见这些设计图的时候,问她是哪里的图,她回答说是理想的住宅、想像中的城市规划图或是居民区设计图、一个女人应该走的路线图道路图,还有语录。

那些日记本放在客厅的一个抽屉里了。我当着安妮的面,一本本翻阅,后来我的拜访成了十分奇怪的事情:

进门后,我坐在客厅里,安妮放音乐,或者开始喝酒,我静悄悄地埋头阅读日记。我俩偶尔说几句话,通常都是我问她看不明白的地方,什么短语啊,生词啊。当着日记作者的面前,埋头阅读那些文字,有时感觉非常痛苦(真想放下日记,跑到她身边去拥抱她),但更多的时候备受鼓舞,尽管无法细说是哪一类的鼓舞。给人的感觉好像是不知不觉中浑身在发烧。真想大喊,或者闭上眼睛。但是,安妮的文字有种力量,能让你闭上嘴巴,能给你眼皮上下支上火柴棍,让你不得不继续看下去。

第一批日记中有一本是专门谈苏珊的,用“可怕或者姐妹之情”等字眼都不能概括它。有两本是在托尼自杀后写的,内容是对青春、爱情和死亡的质问和探究,还有对台湾和菲律宾景物的模糊描写(托尼没跟她去菲律宾),还有西雅图的街道和影院以及墨西哥特有的晚霞。有一本日记中叙述了她和比尔初期的交往。我没敢看。当然了,我的意见微不足道。我对她说:你应该发表这些日记。后来,我想我只是耸了耸肩膀而已。

那些日子,安妮常常提起的话题之一就是年龄、岁月,还差几年就满四十岁了。起初,我以为她是在撒娇(一个像安妮这样的女子怎么会担心快到中年的事呢?),但是,我立刻明白了,她的担心有实际意义。有一次,安妮的父母来西班牙。当时我不在赫罗纳。等我回来的时候,他们三口已经去意大利、希腊和土耳其了。

不久,安妮和那位建筑师的关系就非常文明地结束了。她开始跟一个过去的学生,机器进口公司的技师来往。那人不爱说话,个子矮小,对安妮来说就太矮小了,二人的差距,如果说得附庸风雅些,可以说不仅在于身材而且是形而上的,但是,我认为如果非要说出来,那就太无礼了。我想,那个时候安妮三十八岁,那技师四十岁。他比她大,这是主要的优点。一天,我彻底离开了赫罗纳。等我再回来时,安妮已经不住在歌剧电影院对面的房子里了。我没大在意,因为她知道我的新地址,可是有好长时间我没有她的任何消息。

在我没有见到安妮的那几个月里,她在欧洲和非洲旅行,出过一次车祸,甩了那位机器进口公司的技师,接待了保罗的来访,接待了琳达的来访,开始跟一个阿尔及利亚人同居,手臂上由于神经方面的原因,有过感染,阅读了几本薇拉·凯瑟、尤多拉·韦尔蒂、卡尔森·麦卡勒斯的作品。

终于,有一天,安妮来我家了。那时,我正在院子里除杂草,忽然,我听见了她的脚步声,回头一看,果然是她。

那天下午,我俩做爱,好像是用它来掩饰再度相逢的快乐。几天后,我去赫罗纳看她。如今她住新城里了,是一间小阁楼。她告诉我,邻居是位俄罗斯老人,名叫阿列克谢,她从来没见过如此温柔和有教养的男人。他头发很短,丝毫不掩饰白发。我问她那一头漂亮的披肩发怎么不见了。她说,剪掉了,现在像个老嬉皮士了。

她就要去美国了。这一回,陪同她的是那位阿尔及利亚人。我估计他俩要在巴塞罗那的美国领馆去拿签证,恐怕有麻烦。我说,这下子事情严重了。她没吭声。她说,领事馆的人以为这位阿尔及利亚人打算永远留在美国。我问:难道不是吗?她说:不,不,不是这样的。

后来的时间不知不觉就过去了。我已经不记得我俩说了一些什么,互相通报了什么情况,大概是些无关紧要的事吧。后来,我就走了,再也没见到她。过了一段时间,我收到她一封信,是用西班牙语写的,地点是美国大瀑布城。她告诉我,她姐姐苏珊服用了过量的巴比妥药自杀了。她父母、姐姐的伴侣(一位米苏拉地方的木匠)都崩溃了,不明白她为什么要自杀。她说,我宁可沉默,痛上加痛没有意义啊,或者说,痛上再加三个有缺陷的闷葫芦,没有意义啊。好像痛苦还不能成为足够的疑问,或者说,痛苦还不足以回答所有的疑问。她说,在离开西班牙前不久,接到了比尔打来的几次电话,以此为苏珊之死画上了句号。

据安妮说,比尔白天想打电话就打电话,几乎每次总是以骂她告终,几乎总是以互相对骂结束。在最后几次通话里,比尔威胁说,要去赫罗纳杀了她。她说,荒谬的是,跑到西雅图的却是她,而仔细想一想,在西雅图她实在没什么朋友可看望的。关于那位阿尔及利亚人,她什么都没说。但是,我推测,那人已经到了美国,就在她身边,或者,这宁愿是推测,免得做噩梦。

后来我就没有安妮的消息了。

几个月过去了。我搬了家。搬到海边去了,住到了一座60 年代胡安·马尔塞捧上天去的小村庄里。我工作很多,问题很多,很难做点什么与安妮有关系的事情。我记得后来我就结婚了。

终于,有一天,我乘火车回到了灰色的赫罗纳,回到安妮住过的小阁楼。正如我想像的那样,给我开门的是一位陌生的女子。她当然想不起来那位老房客是谁。临走前,我问她楼里是否住着一位俄罗斯老先生。那陌生女子回答说,是的;她让我去敲二楼的一个门。

一位年事已高的老先生为我开了门。他费力地拄着一根特别引人注目的圣栎木拐杖走路,看上去更像是一件武器。他记得安妮。实际上,他记得几乎所有在20 世纪发生的事情,但他承认,这并不值得夸奖。我解释说,好久没有安妮的消息了。我来找他,就是听听有什么消息没有。他说,消息不多,只收到几封美国来信,美国是个伟大的国家,很想在美国多生活一段时间。他趁机简要告诉我他在纽约度过的岁月以及在大西洋城当赌场总管的经历。后来,他想起了那些信,赶忙给我倒了一杯茶,然后花工夫去找信。终于,老人拿着三张明信片回来了。他说,都是从美国寄来的。不知道到了什么时候我才明白他完全疯了。在一切范围里,我觉得都是合乎逻辑的。我觉得合情合理,提前走到尽头,心身放松下来了。

那位俄罗斯老人从热茶上方递给我三张明信片。是按照到达的时间排列的,用英文写成。第一封来自纽约。我认出那是安妮的字。说了一些家长里短,最后希望老人多多保重,天天吃饭,她保证一定会想念他,亲吻他。明信片上的照片是纽约第五大道。第二张明信片来自西雅图。是港口的空中俯瞰图。文字比第一封简短,更加难以看明白。我看懂的是说到了流亡和犯罪。第三张来自伯克利,是放荡不羁的伯克利的一条平静的街道。根据图片上的说明,安妮用明快的文字写道:我正在看望老朋友和结识新友人。最后的结束语与第一张相同:劝告亲爱的阿列克谢:多多保重,别忘记每天要吃饭,哪怕吃得很少。

我怀着伤心又好奇的心理看看那位俄罗斯老人。他则用亲切的眼神看看我。我问他:您听从她的劝告了吗?老人回答说:当然,我一向听从尊贵女士的忠告。

Google Play 转区,无需信用卡

①打开这个链接

https://myaccount.google.com

登录想要改区的谷歌账号,转到付款和订阅→管理付款方式

②点击左上角三条横线的按钮,再点击设置,进入付款资料界面:

可以看到已经存在一个付款资料.

⑤按照要求一步一步填写即可。注意填写的地区要与邮政编码对应,用谷歌搜索一下就知道了。建议填写“州/省”的时候选择免税区。

例如:俄勒冈州(Oregon)邮政编码97230

填写完成后点击提交,即可创建一个新的美区付款资料。

⑥回到付款资料页面,切换到原来的付款资料,滑倒最底下,点击“关闭付款资料”。

此时只剩下美区付款资料,系统会自动将该付款资料作为默认付款资料。重新打开谷歌商店(必要时可清除数据),可发现账号已经更改到美区。接下来您可以绑国区的信用卡消费。

PS.
1.建议挂上美国节点进行操作(不是必须的)。
2.删除付款资料会将当前谷歌账户的余额清零,请确认自己是否需要保留余额,建议消费完再进行换区操作。
3.此方法可无限次数更改账号所在地区,今天试过改到澳大利亚,南非都是成功的。

natural deduction的横线只是一个书写方式。

每当我们加入一种新的符号,我们都要给出这种符号的对应rule,在这个语境下能进行互动。

所以,横线的意义是一个函数,把横线上面接收到的几个assumption,作为一个一系列输入,进入横线右边的标识的函数,然后输出conclusion。

横线中上面的某一个assumption,可以用它的proof来替换。本质上是函数的组合。

所以一个natural deduction其实描述了一大堆函数串接的过程。在这个证明中的每一条线,线的上方的一行都是这个函数的输入,下面一行都是这个函数的输出。而他们组成的整体,刚好最上面的一行是输入,最下面的一行是输出。

当然我们会需要一种情况,就是需要一些假设的东西,它可能并不一定成立。

一个系统总有称之为公理的东西,它可能长成各种样子,有的有横线,有的没有。从函数式编程的角度,它们都是函数,只不过有的有输入,有的没有罢了。

这些东西统一构成了环境。环境就是你能用的所有规则。

hypothetical judgements是什么呢?可以认为是一种特殊的rule。

就比如在群论当中通常是不一定交换律成立的,但是假设它成立了会怎么样怎么样。这个时候环境发生了变化。

为了方便,我们保持环境上大体的统一,而把它作为假设。这是一种区隔开来的rule。

构造主义逻辑里面解放一个变量的本质,其实就是因为横线永远只接受的是上面一行的那个生产出来的conclusion作为输入,但是如果我们想让横线把一个整个作为输入,就采用了解放变量这种记法。

至于为什么要发明蕴含标记呢?本质上这又是横线的另一种表达方式,为了方便让横线的最下面永远是一行,比较看起来好找。

重新看待真假

Denotation VS Sense

一个句子有两种看待它的方式,作为一系列指令:sense 。

或者作为一系列指令的ideal result:denotation。

看一个例子:27 × 37 = 999

当我们用等号连接它们的时候,我们其实在说在denotation的层面两者equal:当然,尽管相等,它们并不完全the same,不然我们就不会有陈述它们相等的需要。27 × 37到999需要一步乘法运算,这是sense层面的区别。

康托尔式的函数定义有什么问题

如果我们说“× 是一个函数”,然后用康托尔的有序对集合来定义它,那就意味着我们默认了整个无限输入输出对的集合都存在。

但现实中我们是在有限的机器上计算,在直觉主义者来看,我们不会、也不能把“27 × 37 = 999”这个事实看作是某个已知的,形而上的巨大有序对中的一个点。

当我们给一个27 × 37的时候,很多人脑子里直接蹦出来了999,但请注意我们并不是从一个某个包含所有乘法结果的表中查出了这个。包含了无限个输入输出对的集合根本不存在。它只保留了denotation层面,而跳过了sense层面。函数是我们实际算出来的。所以这里强调的是“计算过程”本身。

不是图像集合,而是一个构造行为!一个类型上的函数是这个

Truth

Truth是一个运算符(operator),你也可以把它看成一个函数。作用于某个语句:如果该句子为真,就映射为 “T”;如果该句子为假,就映射为 “F”。

Truth从根本上不过是一个二值函数,一个运算,认为一个运算能给出所有的答案是不现实的。我们传统的denotation式思考方式总是让我们想当然的认为任何一个话题都必定有真或者假,但真和假本身也不过是一个形式系统的人为定义。不存在一张无限的真理表,真假判断也只是计算,计算可能永无止境。甚至,对于一个计算会不会永无止境,作真假判断,也有可能永无止境。

直觉主义逻辑重新定义了Truth,无论是证明真还是证明假,都意味着你给出一个可以中止的算法。从计算的观点去看待一切。这也就意味着在真和假之外,还有大片大片的东西。那是我们无法谈论的东西。

很多人会误解成,这是真值的范围扩充成:“真、假、无法判断”,错!你还没有抛弃集合论式的观点,你的大脑里还在作一个话题好像就有一个真值,无法判断不是一种真值,它是尚未得到真值,而你给尚未得到真值的东西下真正判断就是自相矛盾。现实的世界从来都是关于推理过程(本质是一种计算)的。

重新发明类型论

对于由计算机经验的人来说,类型非常符合直觉。
在计算机里面,我们有着各种各样的类型。

  1. 我们需要声明类型本身的存在,才能让计算机理解类型。
  2. 我们需要能够创建一个类型的实例。我们通常是使用construtor构造器创建的。

消除规则Elimination Rules

消除规则 提供了构造函数的模板和方法论)。

自然数作为一种递归类型。它的模版是这样的:

1
2
3
4
natrec : Π(C : 𝒰),            -- 返回类型
C → -- 基础情况(f(0))
(ℕ → C → C) → -- 递推规则(如何从 f(n) 得到 f(n+1))
ℕ → C -- 得到整个函数

计算的本质

我们可以干什么,我们可以对一个函数

以自然数为例,我们可以不断的构造一系列属于这个类型的东西。比如suc(0),suc(suc(0))。

值得注意的是,我们此时并不是在应用函数。而是在做类型的几个基本操作之一:构造。

函数

函数是对构造行为的封装。

λ 抽象就是对“占位符 + 行为”的最小封装。

当然我们需要一条规则

抽象

substitution = 把占位变量变成实际值,从而触发计算。

有趣的是,

周末在荆门

我是直接从荆门西火车站到圣境山一级平台的,但是路况极度逆天。奉劝诸位,不是越野车完全不建议直接开车开上去。其实独自爬山还是不错的,一个人爬山感觉更静谧。周围的风景或许谈不上多美,但确实治愈心灵。

如果从来没有体验过滑伞的话,绝对值得尝试,它并不可怕,唯一需要的勇气就是起飞的瞬间。基本就开始有一点感觉,后面都是懒洋洋在天上飘。虽然780的价格确实不菲,但还算值得。180块钱的全景视频真的没必要,他会免费提供Go Pro,你用手控制想拍哪拍哪。滑完伞下来我们遇到一位加拿大友人,来自蒙彼利埃,中文说的很好,和那些荆楚老头打成一片。由于小蔡的英文实在太标准了,被他执拗的认为他是在国外长大的,笑死。

滑完伞感觉酣畅淋漓。吃晚饭的时候,我跟小蔡说,我特别想试一试极限运动,就是真正有概率死亡的那种。我小时候看过一部电影叫《极盗者》,讲一群极端环保主义者认为完成“尾崎八项挑战”就可以凤凰涅槃的故事,基本都是些极限运动,比如翼装飞行,冲浪。第八项挑战叫做“毫无保留的信仰”,没有人知道这是什么。男主卧底其中,最后追杀反派男主到尼加拉瓜瀑布,反派男主带着笑意背朝下坠入尼加拉瓜瀑布。原来这就是毫无保留的信仰。其实这部电影的剧本烂透了,充斥着莫名其妙,但我永远记住了这部片子。

小蔡说,这是会对大脑产生永久的影响的,直接面对死亡的经历会瞬间分泌大量激素,永久重塑大脑。他在知乎上刷到一个经历过车祸的人从此往后都变得云淡风轻。

晚上我们用酒店的电视放《西北偏北》。Eva Marie Saint 在这部片子里气质太美,《码头风云》里就没这样的感觉。这部片子片的节奏和技法,今天的好莱坞到现在也没理解,除了场面越来越大,画质越来越清晰。 片子唯一让人难以忍受的一点是感情戏实在太油腻了,无敌直男的我都受不了。

我们住的单卧套房,设施确实好,站在荆门皇冠假日的36楼,从落地窗往下俯瞰这座灰暗的小城市,中产阶级的快乐油然而生。自助早餐和行政酒廊,非常适合在这里待一天回血(若有女伴更是如此,笑)。中产阶级是一种毋庸置疑美好的生活,他唯一的缺点就在于获得它你需要支付的代价,以及它你永远没办法计算它还能持续多久。第二天的早餐很好,我很久没吃欧式早餐了。中午离开时感觉已经没有那么强烈。这个世界上没有任何一种物质上的享受能够让人真正的满足。

怎么会有人不喜欢奶酪呢.